Sea A ⊂ (X,T). Entonces Ā = A si A es cerrado.

Question

¿Significa esto que si tomamos el cierre de un conjunto cerrado, el resultado será igual a un conjunto abierto?

Estoy asumiendo que todos los puntos adherentes del conjunto cerrado A excluyen la frontera ya que los puntos x que se encuentran en la frontera no tienen vecindades (no estoy seguro) por lo tanto los únicos puntos serán el interior de A "el conjunto abierto A" si tomamos el conjunto de todos los puntos adherentes de A.

He expuesto mi suposición, ya que podría dar algunas pistas sobre dónde me equivoco. Gracias.

Answer 1

Cierre de $A$ es el menor conjunto CERRADO contiene $A$ Entonces $Cl(A)$ es cerrado por definición. Por otro lado, si $A$ es cerrado entonces el conjunto cerrado más pequeño que $A$ es subconjunto de ese conjunto, debe ser $A$ Así pues, la propia $Cl(A)=A$ si y sólo si $A$ está cerrado.

Answer 2

Así que la pregunta es básicamente la siguiente:

Si $(X, \mathcal{T})$ es un espacio topológico, y $A \subseteq X$ (es decir, $A$ es un subconjunto de $X$ ), entonces tiene que demostrar $A$ es cerrado si $\overline{A} = A$ .

Parece, por su anotación, que usted piensa $A \subseteq (X, \mathcal{T})$ significa $A$ está abierto. Esto no es cierto. Si escribe $A \in \mathcal{T}$ , entonces eso significa que $A$ está abierto. Pero escribir $A \subseteq (X, \mathcal{T})$ sólo significa $A \subseteq X$ .

Aquí se pueden utilizar múltiples definiciones equivalentes de cierre.

Una definición del cierre de un conjunto $A$ es $\overline{A} = A \cup A'$ , donde $A'$ es el conjunto de puntos límite de $A$ .

También puede utilizar $\overline{A} = \{ x \in X \mid U \cap A \neq \emptyset \text{ for all } U \in \mathcal{T} \text{ with } x \in U \}$ . Es decir, $\overline{A}$ es el conjunto de $x \in X$ de tal manera que todos los barrios abiertos alrededor de $x$ intersección $A$ .

Answer 3

Es casi por definición. De todos modos...

$$\bar A=\bigcap_{\{C\text{ close }\mid C\supseteq A\}}C$$ pero $A$ está cerca, y es el elemento más pequeño de $\{C\text{ close }\mid C\supseteq A\}$ por lo tanto $$\bigcap_{\{C\text{ close }\mid C\supseteq A\}}C=A\implies \bar A=A$$

Answer 4

Supongo que $\overline{A}$ se define como el conjunto de todos los puntos de adherencia de $A$ (es decir, todos los $x \in X$ tal que para todo conjunto abierto $O$ que contiene $x$ tenemos $O \cap A \neq \emptyset$ ), y un conjunto es cerrado si es el complemento de un conjunto abierto.

Supongamos que $A$ está cerrado. Siempre sabemos que todos los puntos de $A$ son puntos de adherencia de $A$ trivialmente (es decir $A \subseteq \overline{A}$ ), así que supongamos que $x \notin A$ . Entonces, como $A$ está cerrado, $O = X \setminus A$ está abierto y contiene $x$ pero esto $O$ echa de menos $A$ . Esto demuestra que $x$ no es un punto de adhesión de $A$ o $x \notin \overline{A}$ . Así que $x \in A$ implica $x \in \overline{A}$ y $x \notin A$ implica $x \notin \overline{A}$ . Así que $A = \overline{A}$ según sea necesario.

Supongamos entonces que $A = \overline{A}$ . Entonces $A$ está cerrado: que $x \in X \setminus A$ . Entonces $x \notin \overline{A}$ Así que $x$ no es punto de adherencia de $A$ por lo que existe un conjunto abierto $O_x$ tal que $x \in O_x$ y $O_x \cap A = \emptyset$ . Pero esto significa que $O_x \subseteq X \setminus A$ y como todos los puntos de $X \setminus A$ están contenidas en tal $O_x$ , $X \setminus A = \cup \{O_x: x \in X \setminus A\}$ que es una unión de conjuntos abiertos, por lo que $X \setminus A$ está abierto, y $A$ está cerrado.