Demostrar que $\mathbb{R}^n$ no puede escribirse como una unión contable de subespacios propios

Question

Demostrar que $\mathbb{R}^n$ no puede escribirse como una unión contable de subespacios propios

Ok, así que sé que tengo que usar el Teorema de la Cátedra de Baire aquí. Y he hecho lo siguiente, supongamos por el contrario que $\mathbb{R}^{n}=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}S_n$ De tal manera que $\forall n \in \mathbb{N}, S_n$ es un subespacio propio. Ahora bien, si demuestro que para cada $n \in \mathbb{N}$ , $S_{n}$ está cerrado y $int(S_{n})=\emptyset$ entonces Baire implicaría $int(\mathbb{R}^n)=\emptyset$ que es una contradicción.

Ahora pude probar que para cada $n \in \mathbb{N}$ , $int(S_{n})=\emptyset$ .

Sin embargo, cuando trato de demostrar que $S_{n}$ está cerrado, tengo el siguiente inconveniente. $S_{n}$ es cerrado si $\mathbb{R}^n-S_{n}$ está abierto. Por lo tanto, si $\mathbb{R}^n-S_{n}$ está abierto dado $x\in X$ existe $\epsilon>0$ tal que $B(x,\epsilon)\subset \mathbb{R}^n-S_{n}$ . Ahora bien, dado $a \in S_{n}$ podemos considerar $\frac{x-a}{\|x-a\|}\frac{\epsilon}{2}$ que satisface $\frac{x-a}{\|x-a\|}\frac{\epsilon}{2} \in B(x,\epsilon)\subset \mathbb{R}^n-S_{n} $ Lo que implica $a \in \mathbb{R}^n-S_{n}$ que es una contradicción, y por lo tanto $\mathbb{R}^n-S_{n}$ no está abierto.

¡Así que con esta prueba no puedo usar Baire! No sé si esta prueba que muestra que $S_{n}$ ¡no está cerrado está bien y por lo tanto mi estrategia para demostrar el ejercicio es incorrecta o si esta última prueba es incorrecta!

Las sugerencias para resolver el problema de otra manera también son más que bienvenidas.

Answer 1

Supongo que "subespacios" significa " $\mathbb{R}$ -subespacios vectoriales" en lugar de "subespacios topológicos".

De todos modos, no, no necesitas el Teorema de la Categoría de Baire (¡esp!). Generalicemos un poco: Dejemos que $K$ sea un campo incontable. Afirmamos que si $n \in \mathbb{N}$ , entonces un $n$ -dimensional $K$ -El espacio vectorial no puede escribirse como una unión contable de subespacios propios.

Prueba. Procedemos por inducción sobre $n$ .

Necesitamos dos bases de inducción: los casos $n=0$ y $n=1$ . El caso $n=0$ es vacuamente verdadera, ya que a $0$ -dimensional $K$ -no tiene subespacios propios para empezar pero no es la unión de una colección vacía de subespacios (de hecho, esta última unión es $\emptyset$ que no es lo mismo que un $0$ -dimensional $K$ -espacio vectorial). El caso $n=1$ también es cierto, ya que un $1$ -dimensional $K$ -El espacio vectorial tiene un solo subespacio propio (a saber, $0$ ), que no es suficiente para cubrir todo el espacio.

Ahora, el paso de la inducción. Sea $N > 1$ sea un número entero positivo. Supongamos que ya hemos demostrado que

(1) un $N-1$ -dimensional $K$ -El espacio vectorial no puede escribirse como una unión contable de subespacios propios.

Ahora, tenemos que demostrar que un $N$ -dimensional $K$ -El espacio vectorial no puede escribirse como una unión contable de subespacios propios. De hecho, supongamos lo contrario. Entonces, existe un $N$ -dimensional $K$ -espacio vectorial $V$ que puede escribirse como una unión contable de subespacios propios. Este espacio vectorial $V$ puede escribirse como una unión contable de hiperplanos (ya que todo subespacio propio está contenido en un hiperplano). Sea $\mathfrak{H}$ sea el conjunto de estos hiperplanos. Por lo tanto, $\mathfrak{H}$ es un conjunto contable, y $V$ es la unión de los hiperplanos $G \in \mathfrak{H}$ .

Elija un hiperplano $H$ de $V$ que no está en $\mathfrak{H}$ (esto claramente existe ya que $V$ tiene un número incontable de hiperplanos (porque $V$ es un $K$ -espacio vectorial de dimensión $N > 1$ y porque $K$ es incontable) mientras que $\mathfrak{H}$ es sólo un conjunto contable). Entonces, $G \cap H$ es un subespacio propio de $H$ por cada $G \in \mathfrak{H}$ la unión de estos subespacios $G \cap H$ es todo el $H$ (ya que la unión de los hiperplanos $G \in \mathfrak{H}$ es $V$ ). Por lo tanto, el $K$ -espacio vectorial $H$ se escribe como una unión contable de subespacios propios (es decir, de sus subespacios propios $G \cap H$ para $G \in \mathfrak{H}$ ). Pero esto contradice (1) ya que $H$ es $N-1$ -(porque $H$ es un hiperplano en el $N$ -espacio dimensional $V$ ). Esta es la contradicción deseada, por lo que se demuestra el paso de inducción.