Desviación absoluta media (MAD) y de diferentes distribuciones

Question

Para datos distribuidos normalmente, el % de desviación estándar $\sigma$y la desviación absoluta mediana $\text{MAD}$ están relacionados por:

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

donde $\Phi()$ es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar.

¿Hay alguna relación similar para otras distribuciones?

Answer 1

Para cualquier distribución con la densidad de $f(x;\theta)$, la mediana de la desviación absoluta está dada por $\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$ donde $G_\theta$ es la cdf de $|X-\text{MED}_\theta|$ $\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$ donde $F_\theta$ es la cdf de $X.

1. En los casos en que $\theta=\sigma$, es decir, cuando la desviación estándar es el único parámetro, $\text{MAD}_\theta$ es por lo tanto un determinista la función de $\sigma$.
2. En los casos en que $\theta=(\mu,\sigma)$ $\mu$ es un parámetro de localización, es decir, cuando $$f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$$ the distribution of $|X-\text{MED}_\theta|$ is the same as the distribution of $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$ hence is independent from $\mu$ and therefore $G_\theta$ only depends on $\sigma$. Thus, $\text{MAD}_\theta$ is again a deterministic function of $\sigma$.

Answer 2

Para abordar la pregunta en los comentarios:

Me gustaría saber si hay un posible rango de valores de la constante de

(Supongo que la pregunta está destinada a ser acerca de la mediana de la desviación de la media.)

1. La relación de la SD a MAD puede hacerse arbitrariamente grande.

   Tome algunos de distribución con una proporción dada de la SD a MAD. Mantenga el medio $50\%+\epsilon$ de la distribución fija (lo que significa que LOCO no se modifica). Mover las colas más. SD aumenta. Mantenerse en movimiento más allá de cualquier finito dado obligado.

2. La relación de la SD a MAD se puede hacer fácilmente, así como cerca de $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como desee (por ejemplo) $25\%+\epsilon$ $\pm 1$ $50\%-2\epsilon$ a 0.

   Creo que sería tan pequeño como va.