Álgebras de cuaterniones e isomorfismos

Question

Estaba leyendo un libro sobre álgebras de cuaterniones y encontré el siguiente ejercicio y no pude hacerlo y me ha frustrado mucho, Dejemos que $(a,b)_F$ sea un álgebra de cuaterniones con $i^2=a$ , $j^2=b$ y $ij=-ji$

Demostrar que $(a,b)_F$ , $(b,a)_F$ y $(ac^2,b)_F$ son isomorfos y demostrar que $(a^2,b)_F$ no es un álgebra de división.

Answer 1

Demostremos que $(a,b)_F$ y $(b,a)_F$ son isomorfas. Digamos que $(a,b)_F$ es generado por $i,j$ con

$$ i^2=a, \quad j^2=b, \quad ij=-ji $$

y $(b,a)_F$ es generado por $k$ y $\ell$ Satisfaciendo a

$$ k^2=b, \quad \ell^2=a, \quad k\ell=-\ell k. $$

Para definir un isomorfismo $\phi:(b,a)_F\to(a,b)_F$ basta con especificar dónde $\phi$ envía los dos generadores $k$ y $\ell$ . Debemos enviar $k$ y $\ell$ a dos elementos de $(a,b)_F$ donde $\phi(k)$ cuadrados a $b$ , $\phi(\ell)$ cuadrados a $a$ y $\phi(k)$ y $\phi(\ell)$ antidesplazamiento. ¿Puede ver dos elementos de este tipo de $(a,b)_F$ para enviar $k$ y $\ell$ a con $\phi$ ?

Para mostrar $(a^2,b)_F$ no es un álgebra de división, intenta encontrar un elemento no nulo que no sea invertible; una forma en que esto puede ocurrir es con divisores nulos. Mira la nueva relación $i^2=a^2$ . ¿Qué puedes hacer con esta ecuación para que tenga divisores cero?