La geometría de las líneas en $\mathbb{R}^2$ es fundamental para las matemáticas y lo mismo ocurre con las líneas en $\mathbb{C}^2$ desde $\mathbb{C}^2 \cong \mathbb{R}^4$ . Pero, ¿existe un buen tratamiento de las líneas en $\mathbb{Q}_p^2$ es decir, el $p$ -¿planeta de la adicción?
Por ejemplo, supongamos que $y= \zeta x$ es un $p$ -línea de la adicción. ¿Cómo interactúa con la red $\mathbb{Z}^2 \subset \mathbb{Q}_p^2$ ? Ciertamente la línea pasará por un conjunto bien determinado de puntos de la red si y sólo si $\zeta \in \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p$ . ¿Y qué si $\zeta \not\in \mathbb{Q}$ ? ¿Podemos afirmar (de forma similar a las pendientes irracionales en los reales) que la línea pasa arbitrariamente cerca de los puntos de la red?
Y lo que es más importante, ¿tiene algún valor añadido pensar de forma geométrica, ya que la mayoría de estas preguntas podrían responderse de forma algebraica y el espacio no arquimédico es difícil de imaginar?
