Dejemos que $M=X\cup Y$ sea un espacio métrico. Si $S\subset M$ está abierto en $S\cup X$ y abrir en $S\cup Y$ entonces $S$ está abierto en $M$ .
No puedo hacer nada con este ejercicio. Creo que ese es el problema más difícil en mi libro.
Respuesta
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Desde $S$ está abierto en $S\cup X$ debe haber un conjunto abierto $U$ en $X$ tal que $U\cap(S\cup X)=S$ . Del mismo modo, ya que $S$ está abierto en $S\cup Y$ debe haber un conjunto abierto $V$ en $X$ tal que $V\cap(S\cup Y)=S$ . Claramente $S\subseteq U$ Así que $U\cap S = S$ y $$S=U\cap(S\cup X)=(U\cap S)\cup(U\cap X)=S\cup(U\cap X)\;,$$ y por lo tanto $U\cap X\subseteq S$ . De la misma manera, $S\subseteq V$ Así que $$S=V\cap(S\cup Y)=(V\cap S)\cup(V\cap Y)=S\cup(V\cap Y)\;,$$ y por lo tanto $V\cap Y\subseteq S$ .
A continuación, observe que $S\subseteq U\cap V$ ; $U\cap V$ está abierto en $M$ así que hemos terminado si podemos demostrar que $S=U\cap V$ . Sabemos que $U\cap X\subseteq S$ Así que ciertamente $U\cap V\cap X\subseteq S$ . Del mismo modo, desde $V\cap Y\subseteq S$ podemos deducir que $U\cap V\cap Y\subseteq S$ . Pero entonces
$$\begin{align*} U\cap V&=(U\cap V)\cap M\\ &=(U\cap V)\cap(X\cup Y)\\ &=(U\cap V\cap X)\cup(U\cap V\cap Y)\\ &\subseteq S\;, \end{align*}$$
Así que, en efecto $U\cap V=S$ .
Como se puede ver, el resultado es válido para los espacios topológicos en general, no sólo para los espacios métricos.
