Prueba de convergencia de las series alternas, pregunta sobre la condición específica

Question

En primer lugar, un extracto relevante del libro de texto que estoy utilizando:

Supongamos que $\{a_n\}$ es una secuencia cuyos términos satisfacen, para algún entero positivo $N$ ,

i) $a_na_{n+1} < 0$ para $n\geq N$ ,

ii) $\vert a_{n+1}\vert \leq \vert a_n\vert$ para $n\geq N$ y

iii) $lim_{n\rightarrow \infty}a_n = 0$ .

Entonces la serie $\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n$ converge.

Entiendo lo que dice el teorema y cómo utilizarlo, pero tengo una pregunta sobre la tercera condición del teorema. Digamos que tienes $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt(n)}$ para que $a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt(n)}$ . A primera vista parece que se puede aplicar la regla del cociente, y tomar $$lim_{n\rightarrow \infty}a_n = \frac{lim_{n\rightarrow \infty}(-1)^{n-1} }{lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt(n)}$$ Sin embargo, como $(-1)^{n-1}$ cambia constantemente de signo como $n$ se acerca al infinito, parece que este límite no existe. He intentado resolverlo en WolframAlpha, y a primera vista dice que $lim_{n\rightarrow \infty}a_n = 0$ pero cuando compruebo las soluciones paso a paso, la respuesta es en realidad $\frac{(undefined)}{\infty}$ . Dado que el numerador en $a_n$ está acotado entre $-1$ y $1$ tiene sentido intuitivo que el límite tienda a $0$ pero no sé cómo justificar esto matemáticamente. ¿Hay algún teorema que lo justifique? Agradecería mucho cualquier aportación. En el manual de soluciones de mi libro de texto, en el ejemplo concreto anterior, simplemente se dice que se cumplen todas las condiciones sin explicación.

Answer 1

Antes de decir algo formal, piensa de esta manera, que es similar a lo que escribiste: $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ se comporta como $\frac{1}{\sqrt{n}}$ pero alternando el signo en cada $n$ . Desde $\frac 1{\sqrt{n}}\rightarrow 0$ debe quedar claro que también $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\rightarrow 0$ .

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Sin embargo, necesitamos una prueba. Basta con observar que para cada $n\geq 1$ $$0< \left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right|\leq \frac{1}{\sqrt{n}},$$ por lo que la tesis se desprende del teorema del estrujamiento para las secuencias.