demostrar que $(A-B)\cup (A\cap C)=A-(B-C)$

Question

Dejemos que $A,B,C$ sean tres conjuntos, demuestre que $$(A-B)\cup (A\cap C)=A-(B-C)$$

parece claro pero, ¿cómo probarlo?

Answer 1

$(A - B) \cup (A \cap C) = (A \cap B^{c}) \cup (A \cap C) = A \cap (B^{c} \cup C) = A - (B^{c} \cup C)^{c} = A - (B \cap C^{c}) = A - (B - C)$

Dónde $(\cdot)^{c}$ significa el complemento.

Answer 2

Como señaló @Harold, también se pueden "desempacar las definiciones" mientras se considera un miembro arbitrario del conjunto de la izquierda, y luego mostrar que también pertenece al conjunto de la derecha, y viceversa.

Vamos a mostrar $$(A-B)\cup (A\cap C) = A-(B-C)\tag{to be proven }\\$$

$$\begin{align} x \in (A-B)\cup (A\cap C)& \iff (x \in A \land \lnot (x\in B))\lor (x\in A \land x\in C)\\ \\ &\iff (x\in A) \land \big(\lnot( x \in B) \lor x\in C\big)\\\\ &\iff (x \in A) \land \lnot\big((x \in B) \land (\lnot x\in C)\big)\\ \\ &\iff x\in A-(B-C) \\ \\ \end{align}$$

Dado que las implicaciones han sido bidireccionales ( $\iff$ ), hemos demostrado simultáneamente que cada conjunto es un subconjunto del otro. Por lo tanto, $$[(A -B) \cup (A\cap C)] = (A-(B-C))$$