Serie Vector taylor

Question

La electrodinámica clásica de Jackson dice

"Con una ampliación de la serie Taylor del bien $\rho (\mathbf{x'})$ alrededor de $\mathbf{x'} = \mathbf{x}$ uno encuentra..."

y luego dice básicamente que

$$\rho (\mathbf{x'}) = \rho (\mathbf{x}) + \frac{r^2}{6}\nabla^2\rho + \ldots$$

arriba, observe que $ r = |\mathbf{x'} -\mathbf{x}|$ y estamos en $3$ dimensiones

¿Podría alguien explicar cómo derivar este resultado de la serie de Taylor para una función de un vector? Nunca he visto esto antes y estoy perdido.

ACTUALIZACIÓN:

Tal vez el truco sea notar $\mathbf{x'} = \mathbf{x} -\mathbf{r}$ y luego hacer algún tipo de expansión sobre $r = 0$ ?

Answer 1

Para una función de varias variables, los primeros términos de la serie de Taylor adoptan la siguiente forma $$f(\mathbf{x})=f(\mathbf{x}_0)+\bar\nabla^T{f}(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T\mathbf{H}_f(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+\ldots$$ donde $\mathbf{H}f(\mathbf{x})$ es la matriz hessiana.

Answer 2

Enzotib ya ha proporcionado la expansión de una función de valor real de un vector hasta el segundo orden. Ahora podemos aprovechar el hecho de que la función se integra sobre un volumen esférico, multiplicado por un factor de simetría esférica. La integral que contiene el término lineal desaparece por simetría. Para el término cuadrático, el hessiano puede dividirse en una componente proporcional a la identidad y una parte sin traza:

$$\def\H{\mathbf H}\H=\def\tr{\operatorname{tr}}\frac{\tr\H}3\mathbf I+\left(\mathbf H-\frac{\tr\H}3\mathbf I\right)\;.$$

La integral que contiene la parte sin traza se desvanece por simetría, y la integral que contiene la identidad produce su término cuadrático, ya que la traza del hessiano es el laplaciano.

Por favor, actualice la pregunta para reflejar el contexto que he utilizado en la respuesta. Gracias.