Cambio de variables en las integrales de trayectoria

Question

Necesito evaluar una integral de trayectoria que implica un conjunto de campos $X=\left\{ \psi_i \right\}$ :

$$I = \int \prod_i \mathcal{D} \psi_i e^{-S \left[ \left\{ \psi_i \right\} \right] }$$

Para simplificar el tratamiento querría hacer un cambio de variables, y expresar el integrando como una función de un nuevo conjunto de campos, llamémoslo $Y=\left\{ \phi_i \right\}$ . Mi problema es: ¿cómo implemento el cambio de variables? ¿Puedo extender el caso multidimensional al continuo e incluir el determinante del jacobiano de la transformación en la integral, es decir

$$J_{ij} = \frac{\delta X_i}{\delta Y_j}$$

Además, me gustaría definir uno o más de los $Y_i$ variables como que contienen algunas derivadas del original $X_i$ los. Mi intuición me lleva a escribir el jacobiano en el espacio del momento, donde cada derivada se sustituye por una $- \mathrm{i} k_\mu$ y luego evaluarlo, también en el espacio del momento. También diría que mientras el jacobiano no dependa de los campos, se puede tomar fuera del signo de la integral, es decir, es una constante multiplicativa. ¿Es correcta mi intuición?

Cualquier sugerencia, o cualquier referencia a un libro de texto es bienvenida. En particular, no he podido encontrar en ningún libro de texto que posea los casos en los que uno de los campos redefinidos depende de la derivada de uno de los campos originales.

Sé que esta es una pregunta matemática más que una pregunta de física; sin embargo, decidí publicarla aquí porque (normalmente) los físicos están más acostumbrados a manipular integrales de trayectoria.

Answer 1

Existe un método bien establecido para evaluar el jacobiano de las integrales de trayectoria. Este método aparece con frecuencia en la literatura como una forma muy agradable de entender las anomalías. En una teoría con una anomalía, el integrando (acción) debe ser invariante bajo una determinada transformación (simetría clásica), pero la simetría desaparece a nivel cuántico debido a que la medida de la integral de trayectoria no es invariante bajo la transformación. Así que las referencias más obvias que puedo sugerir son las que demuestran las anomalías a través del método de la integral de trayectoria. Algunos ejemplos son la anomalía quiral y la anomalía conforme. La idea original se debe a Fujikawa y el método lleva su nombre. Así que probablemente sea mejor empezar por el Página del método Fujikawa en Wikipedia. Muchos buenos libros de texto también cubren esto (sé Srednicki ) y luego sólo tienes que buscar en Google "método Fujikawa", "integral de trayectoria anómala", etc. Espero que esto te ayude a empezar.