¿Cuándo se puede extender un mapa biracional de curvas?

Question

En este momento estoy estudiando las curvas algebraicas (variedades irreducibles de dimensión 1). Ya he tenido una gran respuesta sobre los conjuntos cerrados de una curva, así que he pensado en volver a probar suerte con el intercambio de pilas; aunque no me sorprendería descubrir que este problema es bastante más difícil. En fin, mi pregunta es la siguiente:

Dejemos que $X$ y $Y$ sean curvas afines y proyectivas no singulares, respectivamente, y sea $\varphi:X\rightarrow Y$ sea un mapa biracional. Me pregunto cuándo $\varphi$ puede extenderse a un morfismo inyectivo $\widetilde{\varphi}:X\rightarrow Y$ En particular, ¿cuándo puede $X$ ser visto como un conjunto abierto de $Y$ .

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Si $\bar X$ es la terminación proyectiva suave de $X$ (cf. Hartshorne, Capítulo I, Corolario 6.10), se puede considerar $\phi$ como un mapa racional $\bar X-- \to Y$
Pero un mapa racional $\bar X--\to Y$ es en realidad un morfismo $\bar{\phi}:\bar X\to Y$ porque $\bar X$ es suave y $Y$ es proyectiva (cf. Hartshorne, Capítulo I, Proposición 6.8).
Finalmente desde $\bar{\phi}:\bar X\to Y$ es un morfismo birracional de curvas completas suaves es un isomorfismo (cf. Hartshorne, Capítulo I, Corolario 6.12).
Y así la respuesta a tu última pregunta es que puedes siempre ver $X$ como un subconjunto abierto de $Y$ .