Campos vectoriales en intersecciones completas

Question

He aquí una pregunta cuya respuesta he tratado de localizar durante algún tiempo.

Dejemos que $X$ sea una intersección completa proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ ; suponer que $X$ no está contenido en un hiperplano. ¿Es cierto que $X$ no admite campos vectoriales tangentes no nulos, a menos que $X$ es una hipersuperficie cuadrática o una curva de género 1?

He aquí algunas observaciones.

1. En el caso $char(k)=0$ la respuesta positiva a esta pregunta se presenta como Proposición 2.11 de "Derivaciones, automorfismos y deformaciones de singularidades cuasi-homogéneas" de J. Wahl (Proceedings of symposia in pure mathematics, vol. 40, parte 2, 613-625). Sin embargo, allí no se da ninguna prueba, sólo se menciona que se puede obtener por el mismo método que el teorema 2.8 (cuya prueba sólo se esboza brevemente). Me preguntaba si existe un relato más completo.

2. Cuando $X$ es una hipersuperficie, la respuesta es positiva; en Katz-Sarnak, Random matrices, Frobenius eigenvalues and monodromy, 11.6 y 11.7, se dan dos pruebas libres de características de esto. Cualquiera de las dos pruebas puede, en principio, generalizarse a las intersecciones completas, pero no veo una forma directa de hacerlo.

3. Es fácil comprobar que cuando $X$ es una curva, la respuesta también es positiva.

Answer 1

No he comprobado completamente la indexación, pero creo que el Tema 1.1 y la Prop. 1.3 de SGA 7 II:Exp II hace lo que quieres (con posiblemente un pequeño número de excepciones si he conseguido la indexación un poco mal). Tienes que usar eso $T^1_X=\Omega_X^{d-1}\bigotimes \omega_X^{-1}$ , $d=\dim X$ y la fórmula de $\omega_X$ en términos de los grados de los hiperplanos de definición.