¿Por qué la expectativa es lo mismo que la media aritmética?

Question

Hoy me he encontrado con un nuevo tema llamado Expectativa Matemática. El libro que estoy siguiendo dice que la expectativa es la media aritmética de una variable aleatoria procedente de cualquier distribución de probabilidad. Pero, define la expectativa como la suma del producto de unos datos y la probabilidad de los mismos. ¿Cómo pueden ser iguales estos dos (media y expectativa)? ¿Cómo puede la suma de la probabilidad por los datos ser la media de toda la distribución?

Answer 1

Informalmente, una distribución de probabilidad define la frecuencia relativa de los resultados de una variable aleatoria: el valor esperado puede considerarse una media ponderada de esos resultados (ponderada por la frecuencia relativa). Del mismo modo, el valor esperado puede considerarse como la media aritmética de un conjunto de números generados en proporción exacta a su probabilidad de ocurrencia (en el caso de una variable aleatoria continua esto no es exactamente verdadero ya que los valores específicos tienen probabilidad $0$ ).

La conexión entre el valor esperado y la media aritmética es más clara con una variable aleatoria discreta, donde el valor esperado es

$$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$$

donde $S$ es el espacio muestral. Como ejemplo, supongamos que tenemos una variable aleatoria discreta $X$ tal que:

$$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$$

Es decir, la función de masa de probabilidad es $P(X=1)=1/8$ , $P(X=2)=3/8$ y $P(X=3)=1/2$ . Utilizando la fórmula anterior, el valor esperado es

$$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$$

Ahora considere los números generados con frecuencias exactamente proporcionales a la función de masa de probabilidad - por ejemplo, el conjunto de números $\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$ - dos $1$ s, seis $2$ s y ocho $3$ s. Ahora toma la media aritmética de estos números:

$$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$$

y puedes ver que es exactamente igual al valor esperado.

Answer 2

La expectativa es el valor medio o la media de una variable aleatoria, no una distribución de probabilidad. Como tal, es, para las variables aleatorias discretas, la media ponderada de los valores que toma la variable aleatoria, donde la ponderación se realiza en función de la frecuencia relativa de aparición de esos valores individuales. Para una variable aleatoria absolutamente continua es la integral de los valores x multiplicada por la densidad de probabilidad. Los datos observados pueden considerarse como los valores de una colección de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas. La media muestral (o expectativa muestral) se define como la expectativa de los datos con respecto a la distribución empírica de los datos observados. Esto hace que sea simplemente la media aritmética de los datos.

Answer 3

Prestemos mucha atención a las definiciones:

La media se define como la suma de una colección de números dividida por el número de números de la colección. El cálculo sería "para i en 1 a n, (suma de x sub i) dividida por n".

El valor esperado (EV) es el valor medio a largo plazo de las repeticiones del experimento que representa. El cálculo sería "para i en 1 a n, suma del suceso x sub i por su probabilidad (y la suma de todos los p sub i debe ser = 1)".

En el caso de un dado justo, es fácil ver que la media y el EV son iguales. Media - (1+2+3+4+5+6)/6 - 3,5 y EV sería:

prob x p*x

0.167 1 0.17

0.167 2 0.33

0.167 3 0.50

0.167 4 0.67

0.167 5 0.83

0.167 6 1.00

EV=suma(p*x) = 3,50

Pero qué pasaría si el dado no fuera "justo". Una forma fácil de hacer un dado injusto sería hacer un agujero en la esquina en la intersección de las caras 4, 5 y 6. Además, digamos ahora que la probabilidad de sacar un 4, 5 o 6 en nuestro nuevo y mejorado dado torcido es ahora de 0,2 y la probabilidad de sacar un 1, 2 o 3 es ahora de 0,133. Es el mismo dado con 6 caras, un número en cada cara y la media de este dado sigue siendo 3,5. Sin embargo, después de lanzar este dado muchas veces, nuestro EV es ahora 3,8 porque las probabilidades de los eventos ya no son las mismas para todos los eventos.

prob x p*x

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV=suma(p*x) = 3,80

De nuevo, seamos cuidadosos y volvamos a la definición antes de concluir que una cosa siempre será "igual" que otra. Echa un vistazo a cómo se configura un dado normal y haz un agujero en las otras 7 esquinas y mira cómo cambian los EVs - diviértete.

Bob_T

Answer 4

La única diferencia entre "media" y "valor esperado" es que la media se utiliza principalmente para la distribución de frecuencias y la expectativa se utiliza para la distribución de probabilidades. En la distribución de frecuencias, el espacio muestral está formado por variables y sus frecuencias de aparición. En la distribución de probabilidad, el espacio muestral está formado por variables aleatorias y sus probabilidades. Ahora sabemos que la probabilidad total de todas las variables en el espacio muestral debe ser=1. Aquí radica la diferencia básica. El término denominador de la expectativa es siempre =1. (es decir, la suma f(xi) = 1) Sin embargo, no hay tales restricciones en la suma de la frecuencia (que es básicamente el número total de entradas).