Dejemos que $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea diferenciable con $f(0)=g(0)$ y $f'(x) < g'(x)$ para todos $x$ perteneciente al conjunto de los números reales. Demostrar que $f(x)<g(x)$ para todos $x>0$ .
¿Alguna ayuda? Estoy muy confundido :P
Establecer $ \displaystyle h(x):= f(x) - g(x), \quad x \in \mathbb R $
La función $h$ es diferenciable en $ \mathbb R$ como una diferencia de funciones diferibles, con $ h'(x)= f'(x) -g'(x), \quad x \in \mathbb R$ . Así, según la hipótesis obtenemos que:
$$ h'(x)= f'(x) - g'(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb R $$
así que $h$ es (estrictamente) decreciente en $\mathbb R$ y, por tanto, para $ x>0$ tenemos que
$$ h(x) < h(0) $$
Así, $ \displaystyle f(x) - g(x) < f(0) -g(0)=0 \implies f(x) <g(x) \quad \forall x> 0$
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