Demostrar que las afirmaciones sobre los homeomorfismos son equivalentes

Question

Intento demostrar las siguientes equivalencias. ¿Cuál es una buena forma de demostrar que las afirmaciones de una cadena de afirmaciones como ésta son equivalentes? ¿Tomando la ruta más fácil y eficiente para demostrar la equivalencia, y también asegurándose de que cada equivalencia ha sido efectivamente demostrada? ¿Hay alguna forma sistemática de hacerlo?

Si $f:X \rightarrow Y$ es continua, las siguientes son equivalentes: $(a)$ $f$ es un homeomorfismo $(b)$ $f$ es una biyección cerrada. $(c)$ $f$ es una biyección abierta.

Intento:Estoy luchando por encontrar la cadena de equivalencias correcta que haga que esto sea lo más fácil.

Intentaré $(a)\implies (b) \implies (c) \implies (a)$ ¿También tendría que mostrar $(c) \implies (b)$ y $(b) \implies (a)$ . Aparte de la prueba, ¿cuál es una estrategia general para determinar una secuencia de equivalencias que demuestre que cada afirmación implica a la otra?

$(a) \implies (b)$ Si $f$ es un homeomorfismo, $f$ es ciertamente biyectiva y para cualquier conjunto cerrado $A$ en $X$ , $(f^{-1})^{-1}(A)=f(A)$ para que $f$ es un mapa cerrado ya que $f^{-1}$ es continua.

$(b) \implies (c)$ Si $f$ es una biyección cerrada, para cualquier conjunto cerrado $A$ , dejemos que $U=X-A$ . Entonces $f(U)=(f^{-1})^{-1}(X-A)=(f^{-1})^{-1}(X)-(f^{-1})^{-1}(A)=Y-f(A)$ y así $f(U)$ está abierto.

$(c) \implies (a)$ Si $f$ es una biyección abierta para cualquier conjunto abierto $U$ en $X$ , $f(U)$ está abierto en $Y$ . Así que $f^{-1}$ es continua. Así que $f$ es un homeomorfismo.

Answer 1

Si quiere demostrar que $\phi_1, \ldots, \phi_n$ son equivalentes, tienes que demostrar suficientes afirmaciones $\eta_{ij} \equiv \phi_i \Rightarrow \phi_j$ para que el $\eta_{ij}$ visto como aristas en un grafo dirigido con vértices $1, \ldots, n$ da un gráfico (fuertemente) conectado. En tu ejemplo, has producido un gráfico cíclico que contiene todos los vértices, así que está bien. En cuanto a la búsqueda de la ruta más eficiente, se trata de un juicio de valor que depende del problema concreto. En tu ejemplo, el gráfico cíclico me parece bastante eficiente, ya que minimiza el número de aristas del gráfico. Sin embargo, puede que no sea así en otros ejemplos. A veces (pero no en este ejemplo) es ventajoso introducir más $\phi_i$ para que las implicaciones $\eta_{ij}$ más fácil de probar.

Answer 2

Las condiciones del mapa abierto y del mapa cerrado son muy similares entre sí, por lo que tiene sentido demostrar ambas al mismo tiempo dar $(a)$ como una hipótesis. Al demostrar $a$ dado que $(b)$ o $(c)$ tiene sentido elegir la que sea más amigable dada la definición de continuidad que se está utilizando. Estoy utilizando la las imágenes inversas de los conjuntos abiertos son abiertas definición de continuidad aquí.

Como señala Rob Arthan, esto no es bastante suficiente, también tenemos que demostrar que $(b)$ implica $(c)$ con el fin de obtener el $(b)$ implica $(a)$ borde. Incluyo un argumento para este caso inicialmente y por eso mi respuesta era incorrecta.

Como adición, este tipo de error es precisamente la razón por la que es una buena idea decidir la estructura de las implicaciones por adelantado y mantenerla simple: $A \implies B \implies C \implies A$ y $A \iff B \iff C$ son ambas buenas opciones.

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Creo que la forma más fácil de demostrar esto es mostrar que $(a) \implies (b)$ , $(a) \implies (c)$ y $(c) \implies (a)$ .

Primero una palabra sobre la notación, si $f$ es una función, sea $f^\to$ sea la función que envía $X' \subset X$ a la imagen directa de $X$ en $f$ . Asimismo, dejemos que $f^\leftarrow$ sea la función que envía $Y' \subset Y$ a su imagen inversa.

Diré una función $f$ es continua si y sólo si $f^{\leftarrow}$ es un mapa abierto. Es un teorema que $f$ es continua, entonces $f^{\rightarrow}$ es un mapa cerrado.

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Por hipótesis, $f$ es continua. Por lo tanto, $f^{\leftarrow}$ es un mapa abierto y $f^{\leftarrow}$ es un mapa cerrado.

Supongamos además que $f$ es un homeomorfismo. Eso significa que tiene una inversa continua. Sea $g$ sea la inversa de $f$ .

$g^{\leftarrow}$ es un mapa abierto y un mapa cerrado por definición de continuidad y nuestro teorema sobre la continuidad.

Sin embargo, como $g$ es la inversa de $f$ , $g^{\leftarrow}$ es igual a $f^\to$ . Por lo tanto, $f^\to$ es un mapa abierto y un mapa cerrado. $f$ tiene una inversa, por lo tanto es una biyección.

Esto nos da $(b)$ y $(c)$ suponiendo que $(a)$ como una hipótesis.

Supongamos que $f$ es una biyección abierta. Esto significa que $f^{\to}$ es un mapa abierto y $f$ es biyectiva. Por lo tanto, la inversa de $f$ existe, llámalo $g$ .

$g$ es continua con una inversa continua, ya que $f$ se limita a ser continua por hipótesis.

Por lo tanto, $g$ es un homeomorfismo.

Por lo tanto, $f$ es un homeomorfismo.

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Supongamos que $f$ es una biyección cerrada. Esto significa que $f$ es una biyección y $f^{\to}$ es un mapa cerrado.

Desde $f$ es una biyección, tiene una inversa $g$ .

Desde $g^{\rightarrow}$ es un mapa cerrado, $g$ es continua.

Desde $g$ es continua, $g^{\rightarrow}$ es un mapa abierto.

Por lo tanto, $f^{\to}$ es un mapa abierto.

Por lo tanto, $f$ es una biyección abierta.

Answer 3

Probar un anillo de implicaciones es a menudo la forma más eficiente de proceder, y aquí funciona bien, pero probablemente yo procedería de forma un poco diferente con este resultado. En las tres condiciones la función en cuestión es una biyección, así que el teorema se reduce a demostrar que si $f$ es una biyección, las siguientes son equivalentes: $f^{-1}$ es continua, $f$ está cerrado, y $f$ está abierto.

Desde $f$ es una biyección, entonces $f[X\setminus A]=Y\setminus f[A]$ para cualquier $A\subseteq X$ y es una consecuencia inmediata de esto que $f$ es cerrado si y sólo si es abierto. (Es posible que quieras completar los detalles, pero realmente son muy fáciles). Además, $f^{-1}$ es continua si y sólo si $f$ está abierto. La primera observación da lugar a la equivalencia de (b) y (c), y la segunda da lugar a la equivalencia de (a) y (c). Dado que las tres condiciones son equivalentes a (c), son mutuamente equivalentes.