Es la unión incontable de $\sigma$ -¿Álgebra necesariamente álgebra?

Question

Es bien sabido que la unión infinita de $\sigma$ -no es necesariamente una $\sigma$ -Álgebra.

Pero luego leí esto:

La unión contable de una secuencia no decreciente de -álgebras es un álgebra.

No estoy seguro de por qué contable La unión es necesaria aquí. ¿Hay algún ejemplo de que la unión incontable de $\sigma$ -que no es una álgebra ?

Answer 1

La contabilidad es totalmente irrelevante aquí, pero lo que es esencial es que las álgebras formen una "secuencia no decreciente". Lo que esto debería significar para colecciones más generales (no necesariamente contables) es que las álgebras de las que se toma la unión están totalmente ordenadas bajo inclusión. Más concretamente, tenemos lo siguiente:

Dejemos que $X$ sea un conjunto y que $\mathcal{C}$ sea cualquier conjunto no vacío de álgebras sobre $X$ tal que para cualquier $A,B\in\mathcal{C}$ , ya sea $A\subseteq B$ o $B\subseteq A$ . Entonces $\bigcup\mathcal{C}$ también es un álgebra.

Para demostrarlo, primero hay que tener en cuenta que como $\mathcal{C}$ es no vacía, $\emptyset$ y $X$ están en $\bigcup\mathcal{C}$ . Supongamos ahora que $S,T\in\bigcup\mathcal{C}$ . Entonces, para algunos $A,B\in\mathcal{C}$ , $S\in A$ y $T\in B$ . Sin pérdida de generalidad, $A\subseteq B$ . Entonces $S,T\in B$ Así que $S\cup T, S\cap T$ y $X\setminus S$ están todos en $B$ . Así, todos ellos están en $\bigcup\mathcal{C}$ que dice que $\bigcup\mathcal{C}$ es un álgebra.

Si se elimina la suposición de que $\mathcal{C}$ está totalmente ordenado, entonces este resultado puede fallar ya para uniones finitas, incluso si los elementos de $\mathcal{C}$ son $\sigma$ -algebras. Por ejemplo, tomemos $X=\{0,1,2\}$ y $\mathcal{C}=\{A,B\}$ donde $A=\{\emptyset, \{0\},\{1,2\},X\}$ y $B=\{\emptyset,\{1\},\{0,2\},X\}$ .

(En realidad, no es necesario $\mathcal{C}$ ser totalmente ordenado; basta con que sea dirigido para cualquier $A,B\in\mathcal{C}$ existe $C\in\mathcal{C}$ tal que $A,B\subseteq C$ . La prueba es similar).