Prueba de campo vectorial

Question

Se nos da: $(\nabla \times A)_i=\sum_{j,k=1}^{3}\epsilon_{ijk}$$ \frac{{parcial A_k}{parcial r_j} $ (1) and $ \nabla(\nabla\cdot A)=\nabla(\nabla\cdot A)-{\nabla}^2 A$ (2)

Espectáculo: $\nabla\times(\nabla\times(\nabla\times A))=-{\nabla}^2(\nabla\times A)$

En primer lugar pongo (2) en la parte izquierda para obtener:

$\nabla\times(\nabla(\nabla\cdot\ A)-{\nabla}^2 A)$ , entonces tomando la ecuación completa sobre i, obtenemos:

$\epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k\partial_l A_l-\epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k\partial_k A_l$ que no sé cómo simplificar más.

Además, he intentado utilizar (1) y obtener:

$\nabla\times(\nabla\times(\nabla\times A))=\sum_{j,k=1}^{3}\epsilon_{ijk}$$ \frac{{parcial (\nabla{veces(\nabla{veces A))_k} {{parcial r_j}$

pero no sé cómo diferenciar esto, o proceder a que el resultado sea igual que el de la derecha.

Answer 1

Expandir desde el exterior, $$\begin{align}\nabla\times(\nabla\times(\nabla\times A))=&\nabla(\nabla\cdot (\nabla\times A))-\nabla^2(\nabla\times A)\end{align}$$ y nota que $$\nabla\cdot(\nabla\times A)=\partial_i(\epsilon^{ijk}\partial_jA_k)=\epsilon^{ijk}(\partial_i\partial_j A_k)=0$$