¿Por qué es trivial que $\left(1+\frac{2\ln3}{3}\right)^{-3/2}\leq\frac{2}{3}$ ?

Question

¿Puede alguien decirme por qué $$\left(1+\dfrac{2\ln3}{3}\right)^{-3/2}\leq\dfrac{2}{3}$$ es trivial porque para mí no lo es y necesitaré hacer el cálculo para verlo.

Answer 1

Me imagino algo parecido a esto, donde cada paso es una burda simplificación

$$ \left(1+\dfrac{2\ln3}{3}\right)^{-3/2} \leq \left(1+\dfrac{2}{3}\right)^{-3/2} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^{-3/2} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{3/2} \leq \frac{3}{5} \leq \dfrac{2}{3}$$

Answer 2

No es trivial si se tiene que demostrar esto "con las manos desnudas"; véase la respuesta de Hurkyl.

Pero es trivial si tienes una calculadora de bolsillo a tu disposición. Así que interpreto la frase de la siguiente manera: El autor estaba de camino a cosas más pesadas e importantes, y no quería interrumpir su argumento con una prueba de este pequeño hecho. Dependiendo de las circunstancias y de la audiencia prevista, podría haber hecho un "lema" de ello.

Answer 3

Tomando los recíprocos de ambos lados se obtiene la afirmación equivalente $$ \left(1+\frac{2\ln3}{3}\right)^{3/2}\ge\frac{3}{2}, $$ lo cual es bastante obvio una vez que te das cuenta de que $\ln3>1.$ Esto último se deduce del hecho de que $e<3,$ que es no es difícil de ver .

Answer 4

Podemos ver que todo es positivo, así que sólo hay que tomar el recíproco y elevar al cuadrado ambos lados:

$\left(1+ \frac{2 \ln 3}{3}\right) ^ {\frac{3}{2}} \ge \frac{3}{2}$

$\left(1+ \frac{2 \ln 3}{3}\right) ^ 3 \ge \frac{9}{4}$

Bajar los tres dentro del paréntesis (primer paso de la expansión), ya que todo es positivo los términos extra serán positivos:

$1 + 2 \ln 3 + \text{stuff} \ge 1+ \frac{5}{4}$

Lo cual es claramente cierto ya que $\ln 3 > 1$

Answer 5

Tienes que \begin{align*} \left(1+\frac{2\ln3}{3}\right)^{-\frac{3}{2}} &= e^{ -\frac{3}{2}\ln\left(1+\frac{2}{3}\ln3\right) } \\ &=e^{ \frac{3}{2}\ln\frac{1}{1+\frac{2}{3}\ln3} } \\ &\leq e^{ \frac{3}{2}\ln\left( 1-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\ln3 \right) } \\ &\leq e^{ -\frac{3}{2}\frac{1}{3}\ln 3 } = e^{ -\frac{1}{2}\ln 3 } = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ &\leq \frac{2}{3} \end{align*} donde se utilizó el "hecho" de que $\frac{1}{1+\frac{2}{3}\ln3}\leq 1-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\ln3$ (demostrando que no es difícil) y $\ln(1+x)\leq x$ (para $x>-1$ ).