Máximo $x$ valor del error en el polinomio de Taylor.

Question

Para la función $f(x) = x \cdot \ln(x)$ con un polinomio de Taylor de grado $4$ centrado en $a = 1$ Estoy tratando de encontrar el mayor valor de $x$ , donde $x > 1$ tal que el error $|E(x)|$ está garantizado que es menor que $ 10^{-4}$ . Si he hecho bien los cálculos, la función de error resulta ser $\frac{-6 \cdot (x-1)^5}{z^4\cdot5!}$ . donde $z$ se encuentra entre $x$ y $a$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo aplicar esto para encontrar el valor máximo de $x$ Cualquier ayuda se agradece.

gracias

Answer 1

En su lugar se puede utilizar el límite de error de Lagrange.

Dado que el radio de convergencia es $1$ el intervalo de convergencia es $0 < x < 2$ , Eligiendo $x=2$ da el valor máximo del rango como $2 \ln 2$ .

Entonces tenemos que resolver la desigualdad: $$\left| \frac{2 \ln2\cdot (x-1)^{4+1}}{(4+1)!} \right| < 0.0001$$ $$\left| (x-1)^5 \right| < \frac{0.006}{\ln2}$$

y consigo que el valor máximo de $x$ es alrededor de $1.387$ .

Con el polinomio real, el valor máximo de $x$ es alrededor de $1.483$ . Sin embargo, no hay manera de saber esto con los métodos estándar.