En el ejemplo de Sierpinski de un conjunto que interseca cada línea horizontal o vertical en exactamente un punto

Question

El siguiente es un ejercicio del Análisis Real de Bruckner:

Utilizando la hipótesis del continuo, se puede demostrar que existe un subconjunto no medible de Lebesgue $E$ de $\mathbb{R^2}$ tal que $E$ interseca cada línea horizontal o vertical en exactamente un punto. (a) Utilice este conjunto para demostrar que existe una función $f : \mathbb{R^2} \to \mathbb{R}$ tal que $f$ es medible por Borel en cada variable por separado, pero f no es medible por Lebesgue. (b) Demuestre que la restricción de $f$ a cualquier línea horizontal o vertical sólo tiene un punto de discontinuidad.

La primera frase del ejercicio se explica en aquí aunque no se muestra una construcción explícita del conjunto. Todavía no he podido resolver el ejercicio con la lectura del mencionado OP y las respuestas que allí se dan. Por favor, ayuda, ¡gracias!

Answer 1

Dado $E \subseteq \Bbb R^2$ considere $f: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ dado por $f(x,y)=1$ si $(x,y) \in E$ y $0$ de lo contrario. $f$ no es medible como $E$ no lo es.

Pero si fijamos la primera coordenada en $x_0 \in \Bbb R^2$ la función de una variable $f(x_0, \cdot)$ asume el valor $1$ sólo una vez, por lo que esa función es casi $0$ y, por tanto, medible, de forma bastante trivial. Lo mismo para $f(\cdot, y_0)$ para cualquier $y_0 \in \Bbb R$ . Así que eso se encarga de $a)$ y $b)$ ambos.