Actualmente estoy tratando de aprender algunos fundamentos de la termodinámica. Me encontré con la siguiente ecuación $$ \frac{p_2}{p_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma $$ que permite calcular el efecto de una compresión o expansión isentrópica de un gas ideal a partir del volumen $V_1$ al volumen $V_2$ en la presión. $\gamma$ es la relación de capacidad calorífica del gas.
He intentado aplicar la fórmula a la siguiente situación hipotética: supongamos que tenemos dos moles de un gas ideal con capacidad calorífica a volumen constante $C_v=30~\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$ y la capacidad calorífica a presión constante $C_p=C_v+R$ siendo R la constante universal de los gases. Los dos moles se almacenan por separado a una presión $p_0 = 1.0\cdot 10^5~\mathrm{Pa}$ y la temperatura $T_0 = 300~\mathrm{K}$ . El volumen de cada mol se puede calcular utilizando la relación de los gases ideales: $V_0=\frac{n\cdot R\cdot T_0}{p_0} \approx 2.49 \cdot 10^{-2}~\mathrm{m^3}$ .
Calentamos el primer mol con una energía E = 600 J a volumen constante. El primer mol tiene ahora:
- Un volumen $V_1=V_0$
- Una temperatura $T_1$ calculado mediante la capacidad calorífica del gas a volumen constante: $T_1 = T_0 + \frac{E}{C_v \cdot n} = 320~\mathrm{K}$
- Una presión $p_1$ calculado mediante la ley de los gases ideales: $p_1 = \frac{n \cdot R \cdot T_1}{V_1} \approx 1.07 \cdot 10^{5}~\mathrm{Pa}$ .
Calentamos el segundo mol con la misma cantidad de energía a presión constante. El segundo mol tiene ahora:
- Una presión $p_2 = p_0$
- Una temperatura $T_2$ calculado mediante la capacidad calorífica del gas a presión constante: $T_2 = T_0 + \frac{E}{C_p \cdot n} \approx 316~\mathrm{K}$ .
- Un volumen $V_2$ calculado mediante la ley de los gases ideales: $V_2 = \frac{n \cdot R \cdot T_2}{p_2} \approx 2.62 \cdot 10^{-2}~\mathrm{m^3}$ .
Ahora expandimos (isentrópicamente) el primer mol para que tenga el mismo volumen que el segundo mol: $V_1' = V_2$ . La nueva presión del primer mol $p_1'$ puede calcularse mediante la ecuación del proceso isentrópico:
$$ p_1' = p_1 \cdot \left(\frac{V_1}{V_1'}\right)^{\frac{C_p}{C_v}} \approx 99955~\mathrm{Pa} $$
¿Por qué no es $p_1'$ exactamente $p_2$ ? Perdona si he cometido un error tonto en mi razonamiento.
