¿Problemas para minimizar expresiones con la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

Question

Estoy leyendo Tapas Matemáticas, aquí:

He respondido a estos dos problemas. El problema es que no he podido responder a la segunda pregunta en cada uno de ellos. He empleado la desigualdad de Cauchy-Schwarz para responderlas. Sé que

$$|\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|$$

si $\mathbf{u}$ depende linealmente de $\mathbf{v}$ . Así, por ejemplo: En para la primera, hice $u_i=\sqrt{x_i}$ y $v_i=\frac{1}{\sqrt{x_i}}$ Creo que esto significa que tenemos que tener:

$$(\sqrt{x_1},\dots,\sqrt{x_n})=\lambda\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}} ,\dots , \frac{1}{\sqrt{x_n}}\right)$$

Y por lo tanto:

$$\left(\sqrt{x_1}-\lambda\frac{1}{\sqrt{x_1}} ,\dots , \sqrt{x_n}-\lambda \frac{1}{\sqrt{x_n}}\right)=0$$

Pero esto no parece ser útil.

Answer 1

Cauchy-Schwarz tiene el caso de igualdad cuando la relación de cada término correspondiente es constante. En su caso eso significa:

$$\frac{\sqrt{x_k}}{\frac{1}{\sqrt{x_k}}} = \text{same constant},\ k = \overline{1,n}$$

Esto significa que $x_1=x_2=\ldots=x_n$ . Para encontrar este valor constante, basta con sustituir todas las variables en la restricción dada:

$$nx_1=1\Rightarrow x_1=\frac{1}{n}$$

Así que el caso de la igualdad es $x_1=x_2=\ldots=x_n = \dfrac{1}{n}$ . Y esto, efectivamente, alcanza el límite inferior requerido $n^2$ . Para la segunda desigualdad el mismo razonamiento da el caso de igualdad:

$$(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \left(\frac{\mu}{a_1},\frac{\mu}{a_2},\ldots,\frac{\mu}{a_n}\right)$$