¿Cómo calcular las coordenadas cartesianas de cada uno de los vértices de una Espiral de Teodoro?

Question

Me gustaría trazar enteros de 0 a N en una espiral y tengo la intuición de que la forma más fácil de hacerlo sería utilizar la Espiral de Teodoro como aproximación.

Así, para el 0 tendría (0,0), para el 1 (1,0), para el 2 (1,1) y aquí empieza lo difícil para mí.

¿Puede alguien ayudarme a descubrir una fórmula o un cierre para poder recuperar fácilmente las coordenadas de cada número entero positivo?

Answer 1

Comencemos con $$ (x_k, y_k) = r_k (\cos \phi_k, \sin \phi_k) $$ que le diste $$ r_k = \sqrt{k} $$ por lo que necesitamos $\phi_k$ . Para el aumento tenemos $$ \tan \Delta \phi_k = 1 / r_k $$ y por lo tanto \begin{align} \phi_1 &= 0 \\ \phi_{k+1} &= \phi_k + \arctan 1/r_k \end{align} Aquí hay una construcción para su ejemplo:

Aquí puedes probar una versión en vivo: enlace

Answer 2

Las coordenadas del $n$ punto son $$\alpha=\sum_{i=1}^n \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{i}}\right)$$ $$r=\sqrt{n+1}$$ $$(x,y)=(r\cos(\alpha),r\sin(\alpha))$$ Para $n=0$ obtenemos $(1,0)$ , para $n=1$ obtenemos $(1,1)$ etc.

Answer 3

Aproximación a $\boldsymbol{\theta_n}$ Uso de la fórmula de la suma de Euler-Maclaurin

No he podido calcular una forma cerrada para $\theta_n$ pero utilizando $$ \arctan\left(\frac1{\sqrt k}\right)=\frac1{\sqrt{k}}-\frac1{3\sqrt{k}^3}+\frac1{5\sqrt{k}^5}-\frac1{7\sqrt{k}^7}+\frac1{9\sqrt{k}^9}+O\!\left(\frac1{\sqrt{k}^{11}}\right)\tag1 $$ el Fórmula de la suma de Euler-Maclaurin dice $$ \begin{align} \theta_n &=\sum_{k=2}^n\arctan\left(\frac1{\sqrt k}\right)\\ &=2\sqrt{n}+C+\frac7{6\sqrt{n}}-\frac{41}{120\sqrt{n}^3}+\frac{167}{840\sqrt{n}^5}-\frac{1147}{8064\sqrt{n}^7}+O\!\left(\frac1{\sqrt{n}^9}\right)\tag2 \end{align} $$ donde $$ C=-2.943181160056894531\tag3 $$ se calculó ampliando la fórmula de $\theta_n$ a $O\!\left(\frac1{\sqrt{n}^{23}}\right)$ y evaluando en $n=100$ . El siguiente término de la fórmula es $\frac{1411}{12672\sqrt{n}^9}\approx\frac1{9\sqrt{n}^9}$ que es una buena estimación del error de la aproximación dada en $(2)$ .

Para $n=10$ utilizando la aproximación en $(2)$ da un error en $\theta_n$ de aproximadamente $3.5\times10^{-6}$ radianes o $2\times10^{-4}$ grados. Para los más grandes $n$ el error se reduce.

Entonces, como en las respuestas anteriores, tenemos $$ (x_n,y_n)=\left(\sqrt{n}\cos(\theta_n),\sqrt{n}\sin(\theta_n)\right)\tag4 $$

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Aproximación de la curva que pasa por los puntos

Utilizando la primera $3$ términos de la aproximación, obtenemos $$ \theta=2r+C+\frac7{6r}\tag5 $$ y resolviendo para $r$ tenemos $$ \begin{align} r &=\frac{\theta-C+\sqrt{(\theta-C)^2-\frac{28}3}}4\\ &=\frac{\theta-C}2-\frac7{6(\theta-C)}+O\!\left(\frac1{(\theta-C)^3}\right)\tag6 \end{align} $$ Esto significa que cada revolución aumentará el radio en $\pi$ .