¿Por qué el teorema de Gauss-Bonnet parece funcionar para algunas identificaciones de límites cuadrados pero no para otras?

Question

El artículo de Wikipedia ofrece una ejemplo interesante del teorema de Gauss-Bonnet:

Como aplicación, un toro tiene la característica de Euler 0, por lo que su curvatura total también debe ser cero. ... También es posible construir un toro identificando los lados opuestos de un cuadrado, en cuyo caso la métrica de Riemann sobre el toro es plana y tiene curvatura constante 0, resultando de nuevo una curvatura total 0.

Pero, por supuesto, hay otras formas de cerrar el cuadrado identificando puntos en su límite. Si identificamos lados opuestos con la orientación de un par invertida, obtenemos la botella de Klein, que también tiene la característica de Euler 0. Pero si invertimos las orientaciones de ambos pares, obtenemos el plano proyectivo real, que tiene la característica de Euler 1. Y si identificamos toda la frontera junta entonces obtenemos la esfera, con característica de Euler 2. Todas ellas son superficies cerradas, por lo que el teorema de Gauss-Bonnet implicaría ingenuamente que su curvatura total es igual a $2\pi$ veces su característica de Euler, pero esto sólo funciona para las identificaciones del toro y la botella de Klein, pero no para las identificaciones del plano proyectivo real o la esfera. ¿Por qué?

Para concretar, consideremos el colector $M$ el cuadrado cerrado (o disco unitario) cotizado por su frontera. Creo que $M$ tiene la estructura topológica de $S^2$ pero no la estructura diferencial, es decir, es homeomorfa pero no difeomorfa a $S^2$ . ¿Es esto correcto? Pero $M$ no puede ser un esfera exótica porque no existen en dos dimensiones, por lo que no debe ser una colector diferenciable en absoluto. Si estoy en lo cierto, entonces el proceso de identificación significa que $M$ no es realmente diferenciable en el punto que es el límite identificado - es perfectamente homogéneo como una variedad topológica, pero no es una variedad diferenciable porque hay un punto problemático en el que la curvatura de Gauss es indefinida. Del mismo modo, supongo que el cuadrado de aristas identificadas es homeomorfo pero no difeomorfo al plano proyectivo real. Entonces, ¿los cuadrados con las identificaciones del toro y de la botella de Klein son diferenciables en las aristas y esquinas identificadas? Si es así, ¿por qué los cuadrados identificados con el toro y la botella de Klein son diferenciables en su frontera pero no los cuadrados identificados con el RPP y la esfera?

Answer 1

Cuando se unen las aristas del cuadrado plano para hacer un plano proyectivo, ¿qué ocurre con sus esquinas? Cada esquina se identifica con la esquina opuesta. Así que en dos puntos del plano proyectivo tienes dos esquinas de cuadrados identificados. Pueden ser planos, pero alrededor de la esquina, sólo tienes $\pi$ valor del ángulo en lugar de $2\pi$ . Esto significa que no se puede extender la métrica plana a estas esquinas, por lo que el cociente no es naturalmente una variedad riemanniana.

Una ilustración más sencilla: considere la superficie de un cubo estándar en $\Bbb R^3$ . Cada cara es plana. ¿Y los bordes? No tienen problemas, uno puede pensar en cada par de caras adyacentes como un $2\times1$ rectángulo doblado, y que tiene una métrica plana. Así que si quitas los vértices, la superficie del cubo tiene una métrica plana de Riemann en toda su extensión.

¡Pero esos molestos vértices! Si haces un pequeño circuito sobre uno de ellos, en efecto estás pasando por un ángulo de $3\pi/2$ . Si transportas en paralelo un vector alrededor de la trayectoria, éste vuelve girado por un ángulo recto. Esto significa que que no hay manera de extender esta métrica plana de Riemann al vértice.

Esto funciona para cualquier superficie compacta; puedes expresarla como un complejo simplicial, y si eliminas los vértices puedes ponerle una métrica plana. Por desgracia, raramente se puede extender a toda la superficie (ciertamente si tiene característica de Euler no nula). característica de Euler).

Answer 2

Existe una versión de la fórmula de Gauss-Bonnet que funciona para las variedades que no son suaves.

La curvatura gaussiana es una densidad de curvatura, y su integral sobre una región da la curvatura total en esa región. También existe una noción de curvatura puntual: si tienes un montón de ángulos que suman $\theta$ que se encuentran en un punto, la curvatura puntual (también llamada defecto angular) se define como $2\pi-\theta$ . Si se tiene una variedad cerrada que es suave a partir de un número finito de puntos, entonces la curvatura total se define como la integral de la curvatura gaussiana donde está definida, más la suma de las curvaturas puntuales en los puntos no lisos. Entonces la fórmula de Gauss-Bonnet se cumple con esta definición modificada de la curvatura total.

Para ilustrarlo, considere el cuadrado con bordes opuestos identificado con un volteo. La densidad de curvatura es $0$ en el interior de la plaza. Sin embargo, los vértices opuestos se identifican, y en cada par de vértices, sólo vemos $\pi/2+\pi/2=\pi$ ángulo total. Esto significa que la curvatura puntual en cada uno de los puntos no lisos de la superficie resultante es $2\pi-\pi=\pi$ . Así que podemos calcular que la curvatura total es $\pi+\pi=2\pi$ , que efectivamente es igual a $2\pi\cdot\chi(\mathbb{RP}^2)$ .

No sé si este teorema se puede aplicar al cuadrado con el límite colapsado a un punto. Sin embargo, hay otra forma de obtener $S^2$ del cuadrado, identificando las aristas de la siguiente manera:

Hay tres puntos no lisos: la cabeza de las flechas simples, la cabeza de las flechas dobles y la cola común de todas las flechas. Estos puntos tienen una curvatura $3\pi/2$ , $3\pi/2$ y $\pi$ respectivamente, y la curvatura total $3\pi/2+3\pi/2+\pi=4\pi$ . También en este caso, esto concuerda con $2\pi\cdot\chi(S^2)$ .