Calcular el soporte Jacobi

Question

$R(x,y,z)=(x,y,z)$ y $\Theta(x,y,z)=(xz,yz,-(x^2+y^2))$

Mostrar $[R,\Theta]=\Theta$

$[R,\Theta]=(R\cdot\nabla)\Theta-(\Theta\cdot\nabla)R$

$[R,\Theta]=(\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dy}y+\frac{d}{dz}z)(xz,yz,-(x^2+y^2))-(\frac{d}{dx}xz+\frac{d}{dy}yz-\frac{d}{dz}(x^2+y^2)(x,y,z)$

$=((\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dy}y+\frac{d}{dz}z)(xz),(\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dy}y+\frac{d}{dz}z)(yz),(\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dy}y+\frac{d}{dz}z)(-(x^2+y^2)))-((\frac{d}{dx}xz+\frac{d}{dy}yz-\frac{d}{dz}(x^2+y^2))x,(\frac{d}{dx}xz+\frac{d}{dy}yz-\frac{d}{dz}(x^2+y^2))y,(\frac{d}{dx}xz+\frac{d}{dy}yz-\frac{d}{dz}(x^2+y^2))z)$

$=(5xz,5yz,-5(x^2+y^2))-(3xz,3yz,2z^2-x^2-y^2)$

$=(2xz,2yz,-4x^2-4y^2-2z^2)\neq(xz,yz,-(x^2+y^2))$

He intentado este cálculo muchas veces y sigo obteniendo la misma respuesta errónea, debo tener un problema con mi método, por favor ayuda, sería muy apreciada. No es un cálculo difícil, sólo largo.

Si llega a $(R\cdot\nabla)\Theta-(\Theta\cdot\nabla)R=\Theta$ Por favor, publique el trabajo.

Answer 1

El punto clave es que $R\cdot\nabla\ne \nabla\cdot R$ en su anotación. Debería tener $x\dfrac{\partial}{\partial x}+\dots$ y de forma similar para el otro término.

Answer 2

Gracias al post de Ted Shifrin, he encontrado los errores que estaba cometiendo. Aquí está el funcionamiento correcto:

$R(x,y,z)=(x,y,z)$ , $\Theta(x,y,z)=(xz,yz,-(x^2+y^2))$

$[R,\Theta]=(R\cdot\nabla)\Theta-(\Theta\cdot\nabla)R$

$[R,\Theta]=(x\frac{d}{dx}+y\frac{d}{dy}y+z\frac{d}{dz})(xz,yz,-(x^2+y^2))-((xz\frac{d}{dx}+yz\frac{d}{dy}-(x^2+y^2)\frac{d}{dz})(x,y,z))$

$=((x\frac{d}{dx}+y\frac{d}{dy}+z\frac{d}{dz})(xz),(x\frac{d}{dx}+y\frac{d}{dy}+z\frac{d}{dz})(yz),(x\frac{d}{dx}+y\frac{d}{dy}+z\frac{d}{dz})(-(x^2+y^2)))-((xz\frac{d}{dx}+yz\frac{d}{dy}-(x^2+y^2)\frac{d}{dz})x,(xz\frac{d}{dx}+yz\frac{d}{dy}-(x^2+y^2)\frac{d}{dz})y,(xz\frac{d}{dx}+yz\frac{d}{dy}-(x^2+y^2)\frac{d}{dz})z)$

$=(xz+xz,yz+yz,-2x^2-2y^2)-(xz,yz,-(x^2+y^2))$

$=2\Theta-\Theta=\Theta$