Por qué $\zeta^m \alpha \in K[\zeta]$ ?

Question

En el siguiente lema de "The Algebraic structures of group rings" : por D.S. Passman,

• ¿Qué hace $K[G]$ contenida isomórficamente entre $K[\zeta_1, \ldots \zeta_n]$ y $K(\zeta_1, \ldots \zeta_n)$ ¿significa? ¿Significa que $K[G] \cong K(\zeta_1, \ldots \zeta_n)$ ?
• Ahora tomemos el caso en el que tenemos una sola variable digamos $\zeta$ es decir $G=\langle x \rangle$ un grupo cíclico infinito. Entonces $K[\zeta] \hookrightarrow K\langle x \rangle= K[G]$ y según la línea roja hacia el final, si $\alpha = \sum_{-\infty}^{\infty} a_ix^i \in K<x>$ entonces debe existir una cantidad suficientemente grande $m$ tal que $\zeta^m \alpha \in K[\zeta]$ . ¿Por qué este $m$ ¿Existe?

Creo que como supp{ $\alpha$ } es finito, podemos encontrar uno $m$ tal que $x^m \alpha \in K\langle x \rangle =\ K[G]$ Pero, ¿por qué? $\zeta^m \alpha \in K[\zeta]$ ? Hemos incorporado $K[\zeta]$ en nuestro anillo de grupo, pero no es sobre.

Puede ser que si primero escribimos $K[[]\zeta]]\ (\text{Laurent poly ring})\ \cong K \langle x \rangle$ y, a continuación, escribir $\zeta^m \alpha \in K[\zeta]$ tiene sentido. ¿Puede ser esto lo que se asume aquí de manera obvia?

Answer 1

(1) Que $\mu:K[\zeta_1,\ldots,\zeta_n]\to K[G]$ sea el homomorfismo natural dado por $\zeta_i\mapsto x_i$ . Entonces $\mu$ es una incrustación y vamos a identificar $K[\zeta_1,\ldots,\zeta_n]$ y $K[x_1,\ldots,x_n]$ es decir $\zeta_i=x_i$ . Además, Passman demuestra que $K[G]$ es un dominio integral, por lo que podemos considerar el campo de fracciones de cualquier subring de $K[G]$ y resulta que $K[G]$ contenida en el campo de las fracciones de $K[\zeta_1,\ldots,\zeta_n]$ es decir, en $K(\zeta_1,\ldots,\zeta_n)$ .

(2) Que $\alpha\in K[G]$ entonces $$\alpha=\sum_{i=1}^l \alpha_i\prod_{j=1}^n x_j^{e_{i,j}}= \sum_{i=1}^l \alpha_i\prod_{j=1}^n \zeta_j^{e_{i,j}}$$ para algunos $l\in\mathbb{Z}_{>0}$ , $\alpha_i\in K$ y $e_{i,j}\in\mathbb{Z}$ . Si todos los $e_{i,j}\geq 0$ entonces $m:=0$ , de lo contrario deja que $m=-\min\{e_{i,j}\}$ . Denote $\zeta=\zeta_1\ldots\zeta_n$ . Entonces $\zeta^m\alpha\in K[\zeta_1,\ldots,\zeta_n]$ .

Ahora demostramos que $K[G]$ es un dominio integral. Sea $\alpha,\beta\in K[G]$ y $\alpha\beta=0$ . Entonces existe $p,q\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ tal que $\zeta^p\alpha,\zeta^q\beta\in K[\zeta_1,\ldots,\zeta_n]$ Por lo tanto $0=\zeta^p\alpha\zeta^q\beta$ . Pero $K[\zeta_1,\ldots,\zeta_n]$ es un dominio integral, por lo que $\zeta^p\alpha=0$ o $\zeta^q\beta=0$ . Dejemos que $\zeta^p\alpha=0$ . Obviamente, $\zeta^p\in G$ Por lo tanto $\zeta^p$ invertible y $\zeta^p\alpha=0$ sigue $\alpha=0$ .

Por último, dejemos que $\alpha\in K[G]$ . Entonces $\zeta^m\alpha\in K[\zeta_1,\ldots,\zeta_n]$ para algunos $m\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ y $\alpha\in\frac{1}{\zeta^m}K[\zeta_1,\ldots,\zeta_n]\subseteq K(\zeta_1,\ldots,\zeta_n)$ .