La clásica suma de Gauss

Question

Este es un problema de dummit y foote 14.7.11

He resuelto todo excepto b). Me esforcé mucho pero no pude resolverlo. Estoy tratando de usar la suma de la raíz pth de la unidad es 0. Pero hay $p$ términos en la resolvente de lagrange. Así que esto no funcionará.

Por favor, ayúdame con b) (por qué lagrange resolvant $(\zeta_p,1)=-1$ ).

Answer 1

Creo que la definición de Dummit y Foote es confusa. La siguiente definición general tiene más sentido:

Definición Dejemos que $L/K$ sea una extensión de Galois con grupo de Galois cíclico $G$ . Definir el Resolvente de Lagrange de un elemento $\theta \in L$ y un personaje $\chi : G \to K^\times$ para ser $$R(\theta,\chi) = \sum_{g \in G} \chi(g) g(\theta).$$

Ahora podemos hacer un ejemplo trabajado del problema para $p = 7$ . Los cuadrados mod 7 son 1,2 y 4.

Creo que los personajes en cuestión son el personaje principal $1$ y el carácter " $-1$ " es decir $1$ para las plazas y $-1$ para los no cuadrados:

• $\eta_0 = \zeta_7^1 + \zeta_7^2 + \zeta_7^4$ = -0.5 + 1.32287i
• $\eta_1 = \zeta_7^3 + \zeta_7^5 + \zeta_7^6$ = -0.5 - 1.32287i
• $R(\zeta_7,1) = \zeta_7^1 + \zeta_7^2 + \zeta_7^3 + \zeta_7^4 + \zeta_7^5 + \zeta_7^6$ = -1
• $R(\zeta_7,-1) = -\zeta_7^1 - \zeta_7^2 + \zeta_7^3 - \zeta_7^4 + \zeta_7^5 + \zeta_7^6$ = 2.64575i

y $R(\zeta_7,1) + R(\zeta_7,-1) = 2 \eta_0$ .

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Actualización: Podemos volver a relacionar la definición dada en Dummit y Foote:

$$(\alpha, \omega) = \alpha + \omega \sigma(\alpha) + \omega^2 \sigma^2(\alpha) + \cdots + \omega^{n-1} \sigma^{n-1}(\alpha)$$

Ahora $\sigma$ es un generador del grupo cíclico de Galois, así que en el caso de 7 por ejemplo escogeremos una raíz primitiva de 7, 2 funcionará y el mapa $\zeta_p^i \mapsto \zeta_p^{2i}$ . No sólo se genera el grupo de Galois, sino que se puede notar que cada segunda iteración de $\sigma$ te da un cuadrado. Así que $(\zeta_7, -1)$ está de acuerdo con $R(\zeta_7, -1)$ arriba.