Demostrar que $f(x)=x$ .

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función que satisfaga

• $f(-x)=-f(x)$
• $f(x+1)=f(x)+1$
• $f\left(\frac1x\right)=\frac{f(x)}{x^2}$ para $x\neq0$ .

Demostrar que $f(x)=x$ .

Incluso me interesa el caso de que $f$ es continua.

Encontré esta pregunta en mi cuaderno de notas de hace un tiempo y no había escrito una solución entonces. No tengo ni idea de por dónde empezar.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Para $x\neq0$ y $x\neq1$ obtenemos: $$f(x)=x^2f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2f\left(\frac{1}{x}-1+1\right)=x^2\left(f\left(\frac{1}{x}-1\right)+1\right)=$$ $$=x^2+x^2f\left(\frac{1-x}{x}\right)=x^2+x^2\cdot\frac{f\left(\frac{x}{1-x}\right)}{\frac{x^2}{(x-1)^2}}=x^2+(x-1)^2f\left(\frac{x}{1-x}\right)=$$ $$=x^2+(x-1)^2f\left(\frac{1}{1-x}-1\right)=x^2+(x-1)^2\left(f\left(\frac{1}{1-x}\right)-1\right)=$$ $$=x^2-(x-1)^2+(x-1)^2\cdot\frac{f(1-x)}{(1-x)^2}=2x-1-f(x-1).$$ Así, $$f(x)+f(x-1)=2x-1$$ o $$f(x)+f(x+1)=2x+1,$$ que da $$f(x)+f(x)+1=2x+1$$ o $$f(x)=x.$$ Ahora, demuestre que $f(0)=0$ y $f(1)=1.$