Ejemplo de función subarmónica discontinua

Question

Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto y conexo de $\mathbb C$ .

$f:U \to [-\infty, \infty)$ se dice que es subarmónica si su parte superior es semicontinua y satisface la desigualdad del valor medio local.

Quiero un ejemplo de función subarmónica discontinua. Incluso el ejemplo estándar de $log |f|$ donde $f$ es holomorfa también es continua.

Gracias.

Answer 1

Diga $a_n>0$ y $\sum a_n<\infty$ . Definir $$u(z)=\sum a_n\log|z-1/n|.$$ Entonces $u$ es subarmónico; se podría verificar esto directamente o notar que es el potencial logarítmico de una medida finita. Pero si $a_n\to0$ lo suficientemente rápido entonces $u(0)>-\infty$ Por lo tanto $u$ no es continua.

(Si tengo las desigualdades claras, se puede obtener un ejemplo de valor real considerando $\phi\circ u$ para una función convexa adecuada $\phi$ por ejemplo $\phi(t)=e^t$ .)

Editar: Para responder a las preguntas que surgieron en los comentarios: No, no hay ningún ejemplo en $\Bbb R$ porque allí subarmónico es lo mismo que convexo, y las funciones convexas son continuas.

¿Por qué la convexidad es equivalente a la subarmonicidad en $\Bbb R$ ? No hace falta citar a Seirpinski, es fácil. Por supuesto. $u$ es convexo si $$u(tx+(1-t)y)\le tu(x)+(1-t)u(y)\quad(0\le t\le 1)\quad(*).$$

La desigualdad de definición de las funciones subarmónicas es $(*)$ para $t=1/2$ , "punto medio convexo". Ya que por ejemplo $$\frac12(x+\frac12(x+y))=\frac34x+\frac14y$$ es fácil ver que la convexidad del punto medio implica (*) para los racionales diádicos $t$ . Pero no estamos asumiendo $u$ es continua...

Je: Recordemos que si $u$ es subarmónico, $v$ es continua en un disco cerrado y armónica en el interior, y $u\le v$ en el límite, entonces $u\le v$ en el disco. La prueba de esto funciona igual de bien en una variable, y si piensas en ello ves que dice exactamente que una función subarmónica en $\Bbb R$ satisface $(*)$ .

Por lo tanto, en la línea, el punto medio convexo más usc, es decir, subarmónico, implica convexo. Lo contrario está claro.