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Cohomología de la gavilla y resoluciones inyectivas

Al definir la cohomología de gavilla (digamos en Hartshorne), un enfoque común parece ser definir los functores de cohomología como functores derivados. ¿Existe alguna razón conceptual para que entre en juego la resolución inyectiva? Es muy confuso e incómodo para mí que el hecho de tener en cuenta el material inyectivo te permita "extender" un funtor exacto izquierdo.

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