Existencia de una solución periódica a partir de ecuaciones diferenciales

Question

Demuestre la existencia de una solución periódica para las siguientes ecuaciones. Encuentra la región del plano donde se cumple tu resultado.

$$ \begin{align*} \frac{dx}{dt} &= y\\ \frac{dy}{dt} &= -x^5 + 4y - 4x^2y \end{align*} $$

Después de sustituir $y=x'$ en la ecuación 2, ¿no es esa la ecuación de Lienard y podemos pasar por las diferentes calificaciones para comprobar si todo está marcado?

La primera parte es comprobar si $f(x) = -4x^2$ es positivo, que lo es.

La segunda es comprobar si $F(x)<0$ para $0 < x < "a"$ y $F(x)>0$ para $x > "a"$ . Encontré que "a" era 0 cuando resolví para "a" en $f(x)$ . ¿Cómo funciona eso en este caso? ¿Qué conclusión se puede sacar?

Answer 1

Diferencia ambos lados de la primera ecuación con respecto a $t$ :

$\frac{d}{dt} (\frac{dx}{dt}) = \frac{d}{dt} y$

$x''(t) = y'(t)$

Sustituye la expresión anterior en la segunda ecuación:

$x''(t) = -x^5 + 4y-4x^2y$ [1]

A continuación, sustituye la primera ecuación que te han dado en [1]:

$x''(t) = -x^5 + 4x'(t) - 4x^2 x'(t)$

Simplifica:

$x''(t) + x^5 + 4x^2 x' - 4x' = 0$

Factorizar:

$x'' + 4(x^2 - 1)x' + x^5 = 0$ [4]

Supongamos ahora que $x(t)$ es una constante.

Entonces $x'(t) = 0$ y $x''(t) = 0$ .

Sustituir $x' = 0$ y $x'' = 0$ en [4]:

$0 + 4(x^2 - 1)0 + x^5 = 0$

$x^5 = 0$

$x = 0$

Así que si $x(t)$ es una constante, entonces $x(t) = 0$ .

A partir de la primera ecuación, si $x = 0$ entonces $x' = 0$ Así que $y = 0$ .

Por tanto, (0,0) forma parte de la región del plano donde la solución es periódica.

[También puede haber otras soluciones].