Si $ \eta $ y $ \varphi $ son formas diferenciales cerradas, entonces demuestre que $ \varphi \wedge \eta $ es una forma diferencial cerrada.

Question

Supongamos que $ \eta $ y $ \varphi $ son formas diferenciales cerradas. Entonces, ¿cómo puedo demostrar que $ \varphi \wedge \eta $ es una forma diferencial cerrada también? Por favor, explique cómo resolver este problema con claridad. Muchas gracias.

Answer 1

Tenemos que $$d(\varphi \wedge \eta) = d\varphi \wedge \eta + (-1)^{\deg(\varphi)} \varphi \wedge d\eta = 0 + 0 = 0.$$ Por lo tanto, $\varphi \wedge \eta$ también está cerrado.