Series de Taylor y Fourier

Question

Expansión en series de Taylor de la función, $f$, es un vector en el espacio vectorial con base: $\{(x-a)^0, (x-a)^1, (x-a)^3, \ldots, (x-a)^n, \ldots\}$. Este espacio vectorial tiene una countably dimensión infinita. Al $f$ se expresa como combinación lineal de la base de vectores escalares de varias de las $n$-th base de vectores es $\operatorname{Diff}_n{f}(a)/n!$

Serie de Fourier de la expansión de la función, $f$, es un vector en el espacio vectorial con base: $\{\sin(1x), \cos(1x), \sin(2x), \cos(2x), \ldots, \sin(nx), \cos(nx), \ldots\}$. Este espacio vectorial tiene una countably dimensión infinita. Al $f$ se expresa como combinación lineal de la base de vectores escalares de varias de las $n$-th vectores de la base son $\operatorname{Int}\{f\cdot\sin(nx)\}$$\operatorname{Int}\{f\cdot\cos(nx)\}$.

Preguntas:

1. El espacio vectorial para la serie de Fourier tiene un producto interior, $\operatorname{Int}\{f\cdot g\}$, y es este interior del producto que proporciona las expresiones anteriores como $\operatorname{Int}\{f\cdot\sin(nx)\}$$\operatorname{Int}\{f\cdot\cos(nx)\}$. Hay una similar interior del producto a partir de la derivación de los múltiplos escalares de los vectores en el espacio de abarcado por el polinomio base en series de Taylor?

2. ¿Cuál es la relación, si alguna, entre el vector de espacio producido por Series de Taylor y que de la Serie de Fourier? E. g. uno es un subespacio de los otros?

3. Cuando la serie de Fourier se enseña, ¿por qué no en Series de Taylor de re-explicó en el espacio vectorial marco utilizado para la serie de Fourier? Y que este enfoque no llevar el debate de la implicación de la elección de la base (y tal vez la elección del producto interior) para espacios de funciones?

4. Como serie de Fourier obtener generalizada a la transformada de Fourier (la suma de la serie se convierte en una integral), hay algo equivalente a las series de Taylor?

5. Hay recursos recomendados (libros, cursos, etc.) disponibles que pueden ayudar a aclarar mis ideas con respecto a estos temas?

PS: yo había publicado originalmente esta en http://mathoverflow.net/. Alguien recomienda que este sería un sitio más apropiado en su lugar.

Answer 1

En primer lugar, un punto general. La gran diferencia entre Taylor y series de Fourier es que la serie de Taylor son locales y series de Fourier son globales. Que es, la serie de Taylor se definen en términos de y captura de comportamiento local de una función, mientras que la serie de Fourier se define en términos de y capturar el comportamiento global. No es preciso pensar en una función como la suma de su serie de Taylor; incluso una función que tiene un desarrollo en serie de Taylor no tiene que ser igual a nivel local (véase, por ejemplo, MO), y, ciertamente, no necesita tener ninguna relación con él a nivel mundial, mientras que todos los $L^2$ función en el círculo es igual a la suma de su serie de Fourier en el $L^2$ (no pointwise) sentido.

1. Tipo de. Si usted toma el interior del producto a ser algo parecido a $\int fg \, dx$, entonces la cosa cuyo producto interior con $f$ $f(0)$ no es una función sino una distribución, a saber, la de Dirac distribución en $0$. La cosa cuyo producto interior con $f$$f^{(n)}(0)$, al menos una clase de funciones de $f$, está relacionado con la distribución de los derivados de la distribución de Dirac.

2. Depende. En primer lugar, no se debe tratar como desnudo espacios vectoriales: usted realmente desea el lenguaje de los espacios vectoriales topológicos y el resto de análisis funcional. Segundo, depende de donde usted quiere que la serie de Taylor para ser definido. Si estamos hablando de funciones con convergente serie de Taylor en $\mathbb{R}$, a continuación, dichas funciones no tienen una serie de Fourier.

3. El álgebra lineal analogía es mucho más débil para la serie de Taylor que es para la serie de Fourier, de que el problema es de nuevo que la serie de Taylor sólo la captura de comportamiento en un punto, y en general, las funciones están determinadas por su serie de Taylor para una más débiles en la medida en que las funciones están determinadas por su serie de Fourier. (Esto es en general; en el análisis complejo hay mucho más estrecha relación entre las series de Taylor y series de Fourier, como se describe en el enlace Martin da en los comentarios.)

4. Usted no debe pensar de las transformadas de Fourier como una generalización de la transformada de Fourier de la serie. Ambos son generalizados por algo que se llama Pontrjagin la dualidad, y yo no soy consciente de un fenómeno análogo para la serie de Taylor.

5. Como se menciona en 2, es posible que desee aprender algunos análisis funcional.