Pregunta sobre una integral.. ¿Por qué es $a = $ 2?

Question

He encontrado el artículo en el examen de matemáticas B de monbukagakusho 2013.

Considere la función $$F(x) = \int_a^x f(t)\ dt = x^3 - 2x^2 - x - a$$ con $a \ne 0$ . Encuentre $a$ .

Miré la hoja de respuestas y $a = 2$ pero he acabado con una extraña ecuación (?)

$0 = a^3-2a^2-2a$

Entonces, ¿qué debo hacer para conseguir $a = 2$ ?

Gracias

Answer 1

Diferenciando ambos lados de la ecuación, con respecto a $x$ , se obtiene

$$f(x) = 3x^2 - 4x - 1$$

Ahora quiere integrar $f$ entre $a$ y $x$ esto da como resultado

$$F(x) = \int_a^x 3t^2 - 4t - 1 \ dt = |t^3 - 2t^2 - t|_a^x = x^3 - 2x^2 - x - a^3 + 2a^2 + a$$

Pero tú quieres $F(x) = x^3 - 2x^2 - x + a$ esto implica $-a^3 + 2a^2 = 0$ y dado que $a \neq 0$ la única solución es $a = 2$

Answer 2

Si $$ F(x) = \int_a^x f(t)\ dt = x^3 - 2x^2 - x - a $$ entonces $F'(x) = f(x)$ . Así que $f(x) = 3x^2 - 4x - 1$ . Ahora bien $$ \int_a^x 3t^2 - 4t - 1\; dt = t^3 - 2t^2 - t\bigg]_a^x = x^3 - 2x^2 - x - (a^3-2a^2 - a). $$ Así que todo lo que tienes que hacer es resolver $$ a^3 - 2a^2 - a = a. $$ Es decir $$ a^3 - 2a^2 - 2a= 0 $$ Como se ha señalado en los comentarios anteriores y posteriores, $a= 2$ no es una solución. Pero si tuvieras $F(x) = x^3 -2x^2 -x \color{red}+ a$ , entonces tendría que resolver $a^3 -2a^2 = 0$ que sí tiene soluciones $0$ y $s$ .

Answer 3

Ya que para todos los $x$ $$\int_a^x \mbox{something } dt = x^3- 2x^2 -x -a$$ se mantienen, en particular esto se mantiene para $x=a$ . Por lo que se obtiene

$$0=\int_a^a \mbox{something } dt = a^3- 2a^2 -a -a$$

Así que su ecuación funciona, pero la solución no es $a=2$ .

Pero si tuvieras

$$F(x) = \int_a^x \mbox{something } dt = x^3- 2x^2 -x +a$$

entonces se obtiene (sustituyendo $x=a$ ) la ecuación

$$a^2(a-2)=0$$

así que tal vez haya algún error en el ejercicio.