Supongamos que $M$ es una variedad diferenciable tal que, equipada con cualquier métrica de Riemann, es siempre completa. Demostrar que $M$ es compacto. Pista: Demostrar que cualquier sucesión $(p_{n})_{ n \in \mathbf{N}} \subset M$ tiene un punto de acumulación, empieza por elegir las geodésicas mínimas $\gamma _{n} $ que unen un punto fijo $ p\in M$ con $p_{n}$ . He intentado demostrar que es secuencialmente compacto, con la ayuda de la pista, pero nada me ha funcionado. Agradecería una ayuda o un comentario si habéis tenido este problema o habéis pensado en ello.
Respuesta
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Este resultado se conoce como el teorema Nomizu-Ozeki. Véase La existencia de métricas riemannianas completas Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 12, No. 6, pp. 889-891, 1961.
Resumiré lo que sucede: prueban que
(i) cualquier métrica riemanniana sobre $M$ es conformemente equivalente a una métrica completa, y;
(ii) cualquier métrica riemanniana es conformemente equivalente a una métrica que hace $M$ acotado, es decir, acotado con respecto a la distancia de Riemann.
Si $M$ está acotado con respecto a una métrica completa, es compacto. Esto significa que, combinando los dos resultados mencionados anteriormente, su afirmación se deduce. No reproduciré la prueba de (i), pero explicaré (ii).
Por (i), supongamos que la métrica inicial $g$ está completo, y arreglar $x_0 \in M$ . La función $M \ni x \mapsto {\rm d}(x,x_0) \in \Bbb R$ es continua, pero no necesariamente suave, por lo que tomamos $\phi\colon M \to \Bbb R$ suave tal que $\phi(x) > {\rm d}(x,x_0)$ para todos $x \in M$ en su lugar. Entonces consideremos la métrica conforme $g_\phi = e^{-2\phi}g$ y la función de distancia inducida ${\rm d}_\phi$ . Afirmamos que ${\rm d}_\phi(x,x_0) < 1$ para todos $x \in M$ , lo que concluye el argumento. Por Hopf-Rinow, toma una minimización $g$ -geodésico $\alpha\colon \Bbb R \to M$ unirse a $x_0$ a $x$ parametrizado por la longitud de arco medida por $x_0$ (es decir, $\alpha(0)=x_0$ y $\alpha({\rm d}(x,x_0)) = x$ ). Entonces tenemos que, en general, ${\rm d}(\alpha(s), x_0) = s$ para todos $s$ y así $\phi(\alpha(s))>s$ para todos $s$ . Con esto, calculamos $$g_\phi(\alpha'(s),\alpha'(s)) = e^{-2\phi(\alpha(s))} \implies {\rm d}_\phi(x,x_0) \leq \int_0^{{\rm d}(x,x_0)} e^{-\phi(\alpha(s))}\,{\rm d}s \leq \int_0^{+\infty}e^{-s}\,{\rm d}s = 1.$$
