Derivación elemental de ciertas identidades relacionadas con la función Zeta de Riemann y la constante de Euler-Mascheroni

Question

¿Es posible la demostración de estas identidades, sólo utilizando el cálculo diferencial e integral elemental? Si lo es, ¿puede alguien indicarme las pruebas? ( o dar una pista para la solución )

1) $$\int_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi} $$

2) $$\int_0^\infty { e^{-x} \ln^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} $$

3) $$\gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx$$

y por último,

4) $$\zeta(s) = \frac{e^{(\log(2\pi)-1-\gamma/2)s}}{2(s-1)\Gamma(1+s/2)} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^{s/\rho}\!$$

Personalmente creo que esto último se obtiene de un simple uso del teorema de factorización de Weierstrass. No estoy seguro de qué sustitución se utiliza.

$\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni y $\zeta(s)$ es la función Zeta de Riemann.

Gracias de antemano.

Answer 1

La receta general para las integrales que contienen logaritmos es sustituir $\ln x$ por $\displaystyle\left[\frac{\partial}{\partial s}x^{s}\right]_{s=0}$ , para luego intercambiar el orden de integración y diferenciación, y evaluar la integral en términos de funciones gamma. Entonces las derivadas con respecto a $s$ producirá funciones digamma y sus derivadas (a menudo relacionadas con valores particulares de $\zeta(x)$ ).

Por ejemplo, la segunda integral puede escribirse como \begin{align} \int_0^{\infty}e^{-x}\ln^2x\,dx&=\left[\frac{\partial^2}{\partial s^2}\int_0^{\infty}e^{-x}x^{s}dx\right]_{s=0}=\\ &=\left[\frac{\partial^2}{\partial s^2}\Gamma(s+1)\right]_{s=0}=\\&=\gamma^2+\frac{\pi^2}{6}. \end{align} Un ejemplo un poco más sofisticado de esta técnica se puede encontrar aquí .

Answer 2

A problema relacionado .

(1) $$ F(s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1} {\rm e}^{-x^2}\,dx \Rightarrow F'(s) = \int_{0}^{\infty }x^{s-1} \ln(x) {\rm e}^{-x^2}\, dx \,, $$

donde $F(s)$ es la transformada de Mellin de $ {\rm e}^{-x^2} $ y viene dada por

$$ F(s) = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \, $$

lo que implica que

$$ F'(s) = \frac{1}{4}\,\psi \left( \frac{s}{2} \right) \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) \,. $$

Sustituyendo $ s=1 $ da el resultado deseado, $$ -\frac{1}{4}\, \left( \gamma+2\,\ln \left( 2 \right) \right) \sqrt {\pi } $$

(2) Se puede hacer lo mismo tomando la transformada de Mellin de ${\rm e}^{-x}$ y diferenciarlo dos veces con respecto a $s$ y luego sustituir $s=1$ .