¿Majorana-como la representación para los Estados simétricos mixtos?

Question

Hay una generalización de la Majorana representación de puro simétrica $n$-qubit los estados a los estados mixtos (de pura simétrica $n$-qubit)?

Por Majorana representación me refiero a la descomposición de un estado $$|\psi\rangle = \text{normalization} \times \sum_{perm} |\eta_1\rangle |\eta_2\rangle \cdots |\eta_n\rangle,$$ donde $|\eta_k\rangle$ están unívocamente determinado (hasta una fase global en cada uno y la permutación) qubit estados. Normalmente, se presentan como puntos en la esfera de Bloch.

Cuando se llega a una generalización deseada - por que me refiero a un único conjunto de invariantes y covariants de $\text{SU}(2)$ asignado a cada matriz de densidad. La singularidad (hasta permutaciones) es fundamental, de lo contrario, uno puede espectralmente descomponer la matriz de densidad $$\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|$$ y aplicar el estándar de Majorana representación a cada uno de sus vectores propios (la obtención de los invariantes $\{ p_i \}_{i\in\{1,\ldots,n\}} $ y covariants $\{ |\eta_{i,j}\rangle \}_{i,j\in\{1,\ldots,n\},}$ ). Sin embargo, para el caso de que el autovalor degeneración ya no es la única.

Un ingenuo dimensión recuento $(n+1)^2-1=2n + n^2$ da una pista de que puede ser $n$ covariante puntos más un invariante $n\times n$ matriz.

Auxiliar pregunta es si hay una representación única de $k$-dimensiones de los subespacios de puro simétrica $n$-qubit estados? (Si es que la hay, entonces es posible para 'arreglar' el mencionado enfoque con la descomposición espectral.)

Answer 1

Una generalización de la Majorana representación a $N+1$ dimensiones de la densidad de matrices se puede realizar de la siguiente manera: (Por una generalización me refiero a una representación de la densidad de la matriz por medio de un cierto número de puntos en la esfera de Bloch (no necesariamente independientes) + una polarización de vectores pertenecientes a la $N+1$ dimensiones probabilidad simplex)

Voy a considerar primero el caso genérico (multiplicidad libre autovalores) descripto en la cuestión de integridad. Cada $N+1$ dimensiones de la matriz puede ser escrita como:

$\rho = \sum_{i=0}^{N}p_i\theta_i$

donde $p$ es el autovalor de vectores $p\in \Delta^n$ (la probabilidad simplex en $\mathbb{R}^{n+1}$) y $\theta_i$ son las dimensiones de los proyectores en los vectores propios:

$\theta_i^2=\theta_i$

la satisfacción de las orthonormality restricciones.

$tr(\theta_i\theta_j)=\delta_{ij}$

El Majorana representación

$\mathrm{Sym}^N(\mathbb{C}P^1) \approx \mathbb{C}P^N$

permite expresar el primer proyector en términos de $N$ puntos en la esfera de Bloch, y la segunda en términos de $N-1$ puntos porque la orthonormality restricciones y la tercera en términos de $N-2$ puntos etc.

Dimensión contar

$2 \times (0+1+ . . .+N) + N =(N+1)^2-1$

El caso de un autovalor de multiplicidad $1<M<N$

En este caso el proyector en la degeneración espacio propio es de dimensión mayor que 1. La órbita de estos proyectores es la Grassmannian $Gr(M,N)$.

Con el fin de realizar un Majorana representación de este proyector, lo primero que incrustar el Grassmannian en un complejo proyectiva del espacio por medio de una Desplumadora de incrustación:

$Gr(M,N) \rightarrow \mathbb{C}P^{{N \choose M}-1}$

y, a continuación, realizar el Majorana mapa.

Ahora, tanto el Majorana mapa y la Desplumadora de incrustación son conocidos de manera explícita, lo que hace que el conjunto de la construcción sea posible. En los degenerados de los casos, la dimensión de la cuenta es menor que el espacio de todas las matrices de densidad.

Actualización:

Esta actualización está diseñada para proporcionar una respuesta parcial por Piotr comentario

Comentario: debería haber comentó que el material de la clasificación de la matriz de densidad de las órbitas de acuerdo a su autovalor degeneración en esta respuesta está basada en La geometría de estados cuánticos por Bengtsson y Życzkowski (Principalmente en el capítulo 8)

El caso de la Grassmannian $Gr(M,N)$ (el que sea resultado unitario de la órbita de $N$ dimensiones de la densidad de las matrices con dos autovalores distintos, uno de los de la multiplicidad $M

La rígida $SU(2)$ que actúa sobre los qubits de la Majorana representación de $\mathbb{C}P^{{N \choose M}-1}$ es un subgrupo del grupo de isometría $SU({N \choose M})$ de la superficie proyectiva del espacio. Uno no debe esperar que apriori de que es un subgrupo del grupo de isometría $SU(N)$ de la Grassmannian. Sin embargo, he comprobado el caso más simple,$Gr(2,4) \rightarrow \mathbb{C}P^5$. Este Grassmannian está dada por la Desplumadora relación dada por la quadric $w \wedge w = 0$ en las coordenadas homogéneas $w = \sum_{i=j=1, i< j}^4w_{ij} e_i\wedge e_j$ de $\mathbb{C}P^5$, ($e_i$ formar una base de $\mathbb{C}^4$). Después de la identificación de las coordenadas homogéneas $w$ con la homogeneidad de las coordenadas de los Majorana representación tal que en tanto la acción de la $SU(2)$ generador de $\sigma_3$ es diagonal, resultó que la Desplumadora relación es invariante bajo la $SU(2)$ acción. En otras palabras, existe una $SU(4)$ transformación de $U$ de manera tal que esta acción puede ser implementado como: $U^{-1} \theta U$ donde $\theta$ es el proyector en las dos dimensiones de la degeneración espacio de la matriz de densidad. Este resultado es un nuevo (y muy interesante) para mí y no tengo un conocimiento profundo de su razón. Espero que se generaliza a todos los casos.

El caso genérico de los distintos autovalores:

En este caso, la órbita de los estados cuánticos es la bandera del colector $Fl(N)$. En este caso no se $N-1$ distintos Bloch esferas correspondientes a la jerarquía de los vectores propios que se da en la respuesta principal. Un rígido $SU(2)$ acción sobre los qubits de la Majorana representación de cada una de las $n$-ésimo vector propio se realiza como un spin $\frac{N-n+1}{2}$ de representación en el subespacio ortogonal a la superior en la jerarquía de valores propios. Además, habrá una acción correspondiente en todos los niveles inferiores en la jerarquía de los vectores propios. Creo que en el fin de sentirse cómodo con la construcción, se pueden calcular explícitamente el modelo de tres dimensiones caja con la bandera del colector $Fl(3)$, expresado como $\mathbb{C}P^1$ paquete de más de $\mathbb{C}P^2$