No-principal ultrafilters en ω

Question

Pensé que me había escuchado o leído en alguna parte que la existencia de un no-director de ultrafilter en $\omega$ fue equivalente a algunas de las debilitamiento de CA. Como he buscado de todo, he leído que este no es el caso: ni contables elección ni dependiente de la elección son lo suficientemente fuertes.

Esto me lleva a dos preguntas:

Donde puedo encontrar una prueba de que DC no es lo suficientemente fuerte como para probar la existencia de un no-director de ultrafilter en $\omega$?

Es la suposición de que existe un no-director de ultrafilter en $\omega$ lo suficientemente fuerte como para mostrar DC o contables elección? I. e. es "existe un no-director de ultrafilter en $\omega$" más fuerte que cualquiera de contables o dependiente de la elección?

Answer 1

Hay una buena clase de problemas que son equivalentes a la existencia de un no-director de ultrafilter. Uno de esos, si no recuerdo mal, es la existencia de una coloración de los infinitos subconjuntos de los números naturales en forma tal que ningún conjunto infinito tiene sus infinitos subconjuntos del mismo color. La prueba evidente es el color de los conjuntos de tal manera que si añadir o quitar un solo elemento, a continuación, cambiar su color. Para hacer esta prueba en el trabajo, se definen dos conjuntos equivalentes si su diferencia simétrica es finito, y hacer la coloración en cada clase de equivalencia por separado. Pero para empezar tienes que seleccionar un conjunto en cada clase de equivalencia, y para que la cosa obvia es el uso de CA.

Pero, de hecho, puede hacerlo con un no-director de ultrafilter de la siguiente manera. Dado un subconjunto infinito de Una, definir su función de recuento de f(n) ser la cardinalidad de la intersección de a con {1,2,...,n}. Entonces no tome un director de ultrafilter α y definir F(a) ser el límite a lo largo de α de $(-1)^{f(n)}$. Si agrega un elemento de m en a, entonces f(n) es invariable hasta el m y, a continuación, agrega 1 a partir de entonces, por lo que su paridad es cambiado en todas partes excepto en un conjunto finito, lo que implica que F(A) los cambios. Así que F le da su coloración.

Nunca he pensado realmente acerca de la otra dirección (obtención de un colorante a un no-director de ultrafilter) así que no sé lo duro que es. No estoy 100% seguro de que es cierto, pero estoy bastante seguro de que yo recuerdo haber oído que era.

Answer 2

Ver el Primer ideal teorema.

La existencia de ultrafilters en cada álgebra de boole (lo que implica la no-principal ultrafilters en ω, ya que estos provienen de ultrafilters en el álgebra Booleana P(ω)/fin) es un conjunto teórico principio que se desprende de CA y no es comprobable en ZF (si ZF es consistente), pero que no implica CA completa. Por lo tanto, es un intermedio más débiles principio de elección.

Su declaración acerca de ultrafilters en ω parece ser aún más débil, ya que es un caso especial del Primer Ideal Teorema.

Sin embargo, creo que el método de forzar muestra que es consistente con la ZF de que no hay director ultrafilters en ω. Creo que algunos de los modelos estándar de CA, construido mediante simétrica nombres para añadir Cohen reales, tiene DC, y por lo tanto también de CA_ω, pero aún no tiene nonprincipal ultrafilters en ω. En este caso, ni DC ni CA_ω que implica la existencia de tales ultrafilters.

No estoy tan seguro de encontrar modelos que han ultrafilters en ω, pero no en todas las álgebras Booleanas. Pero creo que este es probablemente el caso. Estos modelos muestran que su principio es estrictamente más débil aún que el Primer Ideal Teorema.

Answer 3

Como señala Joel, realmente esta afirmación de la existencia es más débil que AC. Es absolutamente necesario AC para probar esta afirmación maximality. En una nota totalmente diferente, la pregunta si existe un ultrafiltro principal no en un determinado grupo es sin resolver (y probablemente no pueda ser solucionada en todos) en nuevas fundaciones ya que AC es falsa.