Encontrar $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{\sen 1+2\sin \frac{1}{2}+\cdots+n\sin \frac{1}{n}}{n}$

Question

Encontrar$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sen 1+2\sin \frac{1}{2}+\cdots+n\sin \frac{1}{n}}{n}.$$

Este es un reciente examen de la cuestión, que no pude averiguar en el examen. Mi conjetura es que no existe.

Answer 1

Otro enfoque más general:

$$a_n\xrightarrow[n\to\infty] {}\implica \frac{a_1+...+a_n}n\xrightarrow[n\to\infty] {}$$

Y ya

$$\lim_{n\to\infty}\,n\,\sin\frac1n=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac1n}{\frac1n}=1\;\;\ldots\ldots$$

Answer 2

Para los pequeños $|x|$ tenemos $\sin(x)\aprox x$. Por lo tanto \[ i \cdot \sin\frac{1}{i} \approx 1 \] para grandes valores de $i$. Por lo tanto \[ \frac{\sum_{i=1}^n i\cdot \sin\frac{1}{i} }{n}\approx \frac{n}{n}=1\]

Answer 3

O podemos utilizar Stolz–Cesàro teorema para encontrar que $$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sen 1+2\sin \frac{1}{2}+\cdots+n\sin \frac{1}{n}}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)\sin {\frac{1}{n+1}}}{1}=1.$$

Esto es similar con @DonAntonio solución.

Answer 4

Empieza por escribir en forma de suma. Es decir,

$$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{i\sin(1/i)}{n} $$ Ahora, $\sin(1/i)<1/i$ a $i\in\mathbb{N}$. Además, $\sin(1/i)>\frac1i-\frac1{6i^3}$ para $i\in\mathbb{N}$. Ahora, nos fijamos en el resultado señalando que $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac1n = 1 $$ y $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{1-\frac1{6i^2}}n = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac1n-\frac1{6i^2n} = 1 $$ Por lo tanto, tenemos que $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{i\sin(1/i)}{n}=1 $$