La distribución de probabilidad uniforme de un valor específico

Question

Tengo el siguiente problema: las precipitaciones en abril en Famagusta siguen una distribución uniforme entre $0.5$ pulgadas y $3.0$ pulgadas. Estoy confundido al encontrar la probabilidad de que la cantidad de lluvia sea exactamente de 1 pulgada para el mes.

Basándonos en la fórmula de una distribución de probabilidad uniforme tenemos: $P(X=x)=\frac1{2.5}$ por cada $x$ en el intervalo cerrado $[0.5; 3]$ y en consecuencia $P(X=1)=\frac1{2.5}=0.4$ .

Por otro lado, basándonos en la forma rectangular de la distribución de probabilidad uniforme tenemos: $P(X=1)=$ (altura)(base) $=(\frac1{2.5}) (1-1)=0.$

Pero, $0$ es distinto de $0.4$ . Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente $1$ ¿pulgadas de lluvia? ¿Cuál de los métodos es incorrecto?

Por favor, échame una mano.

Answer 1

Su problema está aquí:

Basándonos en la fórmula de una distribución de probabilidad uniforme tenemos: $P(X=x)=1/2.5$ por cada $x$ en el intervalo cerrado $[0.5; 3]$ .

Esa "fórmula" funciona cuando tu espacio muestral es finito y utilizas el número de puntos en el denominador. Pero tu espacio muestral es un intervalo. Es un intervalo finito, pero contiene infinitos puntos. La probabilidad de que obtengas exactamente una pulgada de lluvia es $0$ .

Answer 2

Esto se puede demostrar independientemente debido a la definición de una variable aleatoria continua.

Una variable aleatoria continua tiene una función de densidad $f(x)$ con $f(x) \geq 0$ con $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $$ y $$ P(a < X < b) =\int_{a}^{b} f(x) dx $$

entonces la consecuencia de que la probabilidad una variable aleatoria continua $X$ toma un valor determinado es $0$

$$ P(X=c) = \int_{c}^{c} f(c) dx = 0$$

pero se puede mostrar esto específicamente para la distribución uniforme así. Lo anterior

$X \sim U(a,b)$

específicamente $ X \sim U(.5,3)$ esto nos da una función de densidad de

$f(x) =\begin{align}\begin{cases} \frac{1}{3-.5} & \textrm{ for } \frac{1}{2} \leq x \leq 3\\ \\ 0 & \textrm{ for } x <\frac{1}{2} \textrm{ or } x > 3 \end{cases} \end{align}$

Entonces tenemos

$$ P(X=1) = \int_{1}^{1} \frac{1}{2.5} dx = 0$$

Obsérvese que la función de densidad para las variables uniformes es simplemente

$f(x) =\begin{align}\begin{cases} \frac{1}{b-a} & \textrm{ for } a \leq x \leq b \\ \\ 0 & \textrm{ for } x <a \textrm{ or } x > b \end{cases} \end{align}$