Dejemos que $\{P_n\}_{n=1}^ \infty$ sea una colección de ideales primos contablemente infinitos en un dominio noetheriano conmutativo $R$ .
Entonces, ¿es necesariamente cierto que $\cap_n P_n$ es un ideal primo?
Respuesta
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No, es muy posible que infinitas familias (contables) de ideales primos se crucen con ideales no primos.
Por ejemplo, dejemos que $k$ sea un campo infinito y consideremos el anillo $k[x,y,z]$ .
La altura $1$ ideales primos $(x),(y)$ están ambos contenidos en los ideales maximales de la forma $(x,y,z-a)$ para cualquier $a \in k$ . La intersección de todos estos ideales es simplemente $(xy)$ que no es primo.
