Cómo mostrar ese grupo de $P(X) = \frac{1}{2^n}\sum_{g\in G} gXg^T$ son autoadjuntos?

Question

1. Dejemos que $G$ sea un grupo de "matrices de signo diagonal $(g)$ ", es decir, un matriz diagonal con entradas diagonales en $\{-1,1\}$ . Así que $G$ es de cardinalidad $2^n$ . Por ejemplo: $$g = \begin{bmatrix}1 & 0 &0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

2. Definir $$P(X) = \frac{1}{2^n}\sum_{g\in G} gXg^T$$ con $X\in \mathbf{R}^{n\times n}$

Mi pregunta: ¿Cómo mostrar $P$ ¿se autoadjunta?

Así que, obviamente, tenemos que mostrar $P^T=P$ :

$$P^T = \big(\frac{1}{2^n}\sum_{g\in G} gXg^T\big)^T = \frac{1}{2^n}\sum_{g\in G} \big(gXg^T\big)^T=\frac{1}{2^n}\sum_{g\in G} gX^Tg^T$$

¿Cómo dar un paso más?

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http://arxiv.org/abs/1403.4914 (p.1326)

Answer 1

Elige algunos $h\in G$ y arreglar $X$ . Entonces \begin{equation} hP(X)h^T = \frac{1}{2^n} \sum_{g\in G} hgXg^Th^T = \frac{1}{2^n} \sum_{g\in G} (hg)X(hg)^T = P(X). \end{equation} Así que tenemos \begin{equation} P(P(X)) = \frac{1}{2^n}\sum_{g\in G} gP(X)g^T = \frac{1}{2^n}\sum_{g\in G} P(X) = P(X), \end{equation} lo que significa que $P$ es idempotente. Algún truco similar demostrará que $PP^T = P^T$ y que $P^T P=P^T$ . El hecho de que $PP^T = P^TP$ significa que $P$ es un normal y puede encontrar argumentos (p. ej, aquí o aquí ) mostrando que todos los operadores normales e idempotentes son autoadjuntos.