Estaba buscando una derivación de la Ecuaciones de Frenet . He estado siguiendo este referencia pero he tenido problemas para entender esta declaración (encontrada antes de Ec. $(2.19)$ ):
Cuando r' ( $s+\Delta s$ ) se traslada de $Q$ a $P$ entonces r' ( $s$ ), r' ( $s+\Delta s$ ) y r' ( $s+\Delta s$ )- r' ( $s$ ) forman un triángulo isósceles, ya que r' ( $s+\Delta s$ ) y r' ( $s$ ) son vectores tangentes unitarios. Por lo tanto, tenemos $|\textbf{r}'(s+\Delta s)-\textbf{r}'(s)|=\Delta \theta \cdot 1=\Delta \theta=|\textbf{r}''(s)\Delta s| $ como $\Delta s \to 0$ [...]
Mi problema es entender la última cadena: Me refiero a cómo puedo demostrar matemáticamente que $|\textbf{r}'(s+\Delta s)-\textbf{r}'(s)|=\Delta \theta \cdot 1=\Delta \theta$ . ¿Es esto tomado de la propiedad del producto punto: $$|\textbf{a}-\textbf{b}|^2=a^2+b^2 + 2 ab \cos(\theta),$$ suponiendo que $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ son vectores unitarios y tomando el ángulo entre los vectores aproximadamente cero, así Taylor expande el coseno a segundo orden?
