¿Cómo encontrar la dimensión de un espacio vectorial dadas las ecuaciones paramétricas?

Question

Digamos que tenemos el espacio vectorial $V = \{(a, b, c, d) \in\mathbb{R}^4\; |\; a + c = 0\quad \text{and}\quad b - c + 2d = 0\}$

Entonces, ¿cómo puedo calcular la dimensión del espacio?

Si es posible, utilice un ejemplo similar, ya que esta pregunta es para un trabajo.

Por favor, sea lo más detallado posible en su respuesta ya que he investigado dentro y fuera de stackexchange pero todavía estoy en blanco en cuanto a cómo abordar esto.

Answer 1

La dimensión de un espacio vectorial es la cardinalidad del conjunto generador mínimo que es linealmente independiente. Ahora, para $V$ tenemos $a+c=0$ y $b-c+2d=0$ . Ahora desde la primera condición observamos que $c$ es $dependent$ en $a$ . Y por la segunda condición vemos que $b+2d=c$ . Ahora bien, si asignamos cualquier valor arbitrario a $a$ entonces el valor de $c$ es fijo y, por tanto, el valor de $b+2d$ es fijo. Ahora puede asignar cualquier valor arbitrario a $b$ y luego el valor de $d$ es fijo.

Por lo tanto, $\{a,b\}$ es un $minimal$ conjunto generador que es linealmente independiente.

Por lo tanto, $dim\ V=2$ .

Answer 2

Consideremos la matriz de los coeficientes de las ecuaciones lineales que definen $V$ : $$\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&-1&2\end{bmatrix}$$ Esta matriz está reducida en filas y tiene un rango $2$ . El rango de esta matriz es el codimensión de $V$ es decir, la diferencia entre la dimensión del espacio ambiente (aquí, $4$ ) y $\dim V$ . En otras palabras, si $V$ es un subespacio del espacio vectorial de dimensión finita $E$ entonces: $$\dim V+\operatorname{codim}V=\dim E. $$ Aquí tienes $\;\dim V+2=4$ De ahí que $\;\dim V=2$ .