interpretación geométrica del soporte de la mentira

Question

En la página 159 de "Una Completa Introducción A la Geometría Diferencial Vol.1" por Spivak ha escrito:

Así vemos que el soporte de la $[X,Y]$ mide, en cierto sentido, el grado de que las curvas integrales de $X$ $Y$ puede ser utilizado para formar la "coordinar líneas" de un sistema de coordenadas. Si $X$ $Y$ son dos campos vectoriales en una vecindad de p, entonces para suficientemente pequeño $h$ podemos

(1) siga la curva integral de $X$ a través de $p$ tiempo $h$ ;

(2) a partir de ese punto, sigue la curva integral de $Y$ tiempo $h$;

(3) a continuación, siga la curva integral de $X$ hacia atrás en el tiempo $h$ ;

(4) a continuación, siga la curva integral de $Y$ hacia atrás en el tiempo $h$.

Pregunta:

Antes de la lectura de este libro pensé que $\mathcal{L}_{X}Y=[X,Y]$ calcula los cambios de $Y$ a lo largo de la Integral de la curva de $X$.Pero en esta Figura, las curvas integrales de ambos campos vectoriales se utilizan. Estoy confundido. Alguien me puede ayudar?

Gracias.

Answer 1

Tal vez usted confundido $\mathcal L_X Y$ $\mathcal L_X f$ donde $X,Y$ son campos vectoriales y $f$ es una función suave?

La Mentira derivado $\mathcal L_X f$ suavidad de la función está definida por $\mathcal L_X f(x) = df(x)(X(x))$ $x$ a un punto en nuestro colector, que en coordenadas está dada por $\dfrac{\partial f}{\partial x^i}(x)X^i(x)$ (utilizando el convenio de sumación). Podemos interpretar $\mathcal L_X f$ como la derivada direccional en la dirección del vector de campo $X.$

Por otro lado, $\mathcal L_X Y$ se define a ser que el vector de campo $Z$ satisfacción $\mathcal L_Z f = \mathcal L_X\mathcal L_Y f-\mathcal L_Y\mathcal L_X f$ para todas las funciones lisas $f.$ es decir, tomando la derivada direccional de cualquier función suave en la dirección de $\mathcal L_X Y$ es equivalente a calcular la diferencia entre afirmar derivadas direccionales en el $Y$ dirección de e $X$ dirección. Esto puede ser interpretado en términos de flujos de por lo que has escrito.

Answer 2

Así, la primera idea acerca de la Mentira de derivados es correcta, demasiado. Otra caracterización es $$(\mathcal{L}_X Y)_p f = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \right|_{t=0} (d_{\Phi(p,t)} \Phi(\cdot,-t)) Y_{\Phi(p,t)} f,$$ donde $\Phi$ es el flujo de $X$. Así que siga el flujo de $X$, evaluar $Y$ no y el transporte de vuelta al punto de partida por el diferencial de $\Phi$. La curva definida por este procedimiento vive en el espacio de la tangente a $p$ y su derivada es la Mentira derivado de la $Y$ con respecto al $X$ en el punto de $p$. Así es medir el cambio de $Y$ a lo largo de la curva integral de $X$.

No tengo una buena explicación de por qué esas dos ideas dan el mismo objeto, aunque.