Cómo demostrar la función $f(x,y)=\frac{1}{xy}$ no es uniformemente continua?

Question

Aquí considero la continuidad uniforme de las funciones en $\mathbb{R}^n$ . Tomemos como ejemplo una función de dos variables.

Dijimos que $f(x,y)$ es uniformemente continua si para cualquier $\epsilon>0$ podemos encontrar un $\delta>0$ [depende de $\epsilon$ sólo] tal que $|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\epsilon$ siempre que $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|<\delta$ . Por lo tanto, para encontrar un contraejemplo. Lo que necesitamos es mostrar \begin{align*} \exists\epsilon_0>0\,\,\text{such that}\,\,\forall\delta>0,\,\,\exists(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2\,\,\text{with}\,\,|x_1-x_2|<\delta\,\,\text{and}\,\,|f(x_1)-f(x_2)|\ge\epsilon_0 \end{align*}

Ahora considere $f(x,y)=\frac{1}{xy}$ Me han dicho que no es uniformemente continua y tengo problemas para demostrarlo. ¿Podría alguien ayudar a una solución utilizando la definición que escribí?

Answer 1

Usted tiene $$f(x,1)-f(2x,1)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}=\frac{1}{2x}$$ y $$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{2x}=+\infty$$ Por lo tanto, la función no puede ser uniformemente continua.

Answer 2

En realidad soy algebrista, pero voy a ver este problema de la siguiente manera:

Para la secuencia $x_1,x_2,x_3,\cdots$ dado por $$\Big{(}\frac{1}{10},\frac{1}{10}\Big{)}, \Big{(}\frac{1}{10^2},\frac{1}{10^2}\Big{)}, \Big{(}\frac{1}{10^3},\frac{1}{10^3}\Big{)},\cdots$$ observar dos cosas (mejor ver a través de la imagen)

1) ¿Es la diferencia $|x_1-x_2|$ , $|x_2-x_3|$ , $|x_3-x_4|$ , $\cdots$ acercándose a $0$ ?

2) ¿Qué pasa con la diferencia correspondiente $|f(x_1)-f(x_2)|$ , $|f(x_2)-f(x_3)|$ , $\cdots$ ?

¿Puedes ver que algo "malo" está sucediendo?