$u_{tt} = u_{xx}$ con condiciones de contorno inusuales

Question

Resolver mediante el método de la reflexión $u_{tt} = u_{xx}$

Con $ x< ct , t > 0$ para algunos $c \in \mathbb{R}$

Y $u(ct,t) = 0, u(x,0) = f(x), u_t(x,0) = 0$

Pensé en rotar el $t$ para que la condición de contorno sea $u(0,t') = 0$ . ¿Funcionaría? ¿Cómo hacerlo?

Answer 1

Como ya se ha señalado, se sospecha de una errata en la redacción del problema. No obstante, suponiendo que el PDE sea : $$u_{tt}=u_{xx}$$ La solución general es de la forma : $$u(x,t)=F(x+t)+G(x-t)$$ donde F y G son cualquier fuente (por supuesto, al menos dos veces derivable).

Las condiciones de contorno son : $$u(ct,t)=F\left(ct+t)\right)+G\left(ct-t)\right)=0$$ $$u(x,0)=F(x)+G(x)=f(x)$$ $$u_t(x,0)=F'(t)-G'(t)=0$$ Así que, $G(t)=F(t)+$ constante

que es lo mismo que : $G(x)=F(x)+c$

$F(x)+G(x)=2F(x)+c=f(x)$ $$F(x)=\frac{1}{2}(f(x)-c)$$ $$G(x)=\frac{1}{2}(f(x)+c)$$ $$u(x,t)=\frac{1}{2}(f(x+t)-c)+\frac{1}{2}(f(x-t)+c)$$ $$u(x,t)=\frac{1}{2}\left(f(x+t)+f(x-t)\right)$$

La condición restante $u(ct,t)=0$ conduce a : $$f(ct+t)+f(ct-t)=0$$ o, lo que es lo mismo : $$f\left( (c+1)x\right)+f\left( (c-1)x\right)=0$$

Esta es una ecuación funcional. En el caso general, cualquier función $f$ no es la solución y el problema no tiene solución.

Pero en los casos particulares de la función $f$ que es la solución de la ecuación funcional, la solución del problema es : $$u(x,t)=\frac{1}{2}\left(f(x+t)+f(x-t)\right)$$

Answer 2

Se trata de un problema en el que la onda se refleja en un nodo en movimiento. La solución debería, según La fórmula de d'Alembert , tienen una ola que se mueve "hacia adelante" $f(x-t)$ y una onda que se mueve hacia atrás $f(x+t)$ . Si el nodo se mueve con la velocidad menor que la velocidad de la onda, que aquí es $1$ es decir $|c|<1$ entonces, debido al límite de la derecha, también debería haber una onda reflejada $g(x+t)$ . Ahora desde consideraciones físicas podemos adivinar cómo $g(x+t)$ parece. Parece una onda Doppler extendida/comprimida en el espacio-tiempo que se mueve hacia atrás $f(x+t)$ , a saber

$$g(x+t)=-f\left(\frac{c-1}{c+1}(x+t)\right).$$

A continuación, puede comprobar por sustitución $x=ct$ que la solución $$u(x,t)=\frac12\left(f(x-t)+f(x+t)-f\left(\frac{c-1}{c+1}(x+t)\right)\right)$$ satisface la condición en el límite móvil. También satisface la ecuación de onda original y ambas condiciones iniciales.

En las ecuaciones anteriores $f(q)$ debe tomarse como $0$ para $q\ge0$ .

Si $c\ge1$ entonces el nodo no añadirá ninguna reflexión, y podrás utilizar simplemente los dos primeros términos en la solución. Si $c<-1$ Esto llevará a la creación de una onda de choque, y la solución puede ser singular cerca de la frontera.

En cuanto a su idea de rotar $t$ para fijar el límite, creo que en realidad se puede hacer, en un cierto sentido de "rotación": realizar una Refuerzo de Lorentz en la dirección del nodo móvil, resuelve la ecuación con estas coordenadas espacio-temporales con el nodo de la frontera fija, y luego impulsa hacia atrás para obtener la solución final.

Answer 3

Una pista:

Dejemos que $\begin{cases}x_1=x-ct\\t_1=t\end{cases}$ ,

Entonces $u_x=u_{x_1}(x_1)_x+u_{t_1}(t_1)_x=u_{x_1}$

$u_{xx}=(u_{x_1})_x=(u_{x_1})_{x_1}(x_1)_x+(u_{x_1})_{t_1}(t_1)_x=u_{x_1x_1}$

$u_t=u_{x_1}(x_1)_t+u_{t_1}(t_1)_t=u_{t_1}-cu_{x_1}$

$u_{tt}=(u_{t_1}-cu_{x_1})_t=(u_{t_1}-cu_{x_1})_{x_1}(x_1)_t+(u_{t_1}-cu_{x_1})_{t_1}(t_1)_t=-c(u_{x_1t_1}-cu_{x_1x_1})+u_{t_1t_1}-cu_{x_1t_1}=u_{t_1t_1}-2cu_{x_1t_1}+c^2u_{x_1x_1}$

$\therefore u_{t_1t_1}-2cu_{x_1t_1}+c^2u_{x_1x_1}=u_{x_1x_1}$

$u_{t_1t_1}-2cu_{x_1t_1}+(c^2-1)u_{x_1x_1}=0$

Las condiciones $u(ct,t)=0$ , $u(x,0)=f(x)$ y $u_t(x,0)=0$ se convierten en $u(0,t_1)=0$ , $u(x_1,0)=f(x_1)$ y $u_{t_1}(x_1,0)=0$ respectivamente y el problema se convierte en el problema de tipo habitual.