La dilatación gravitacional del tiempo y una carrera

Question

Si hay una persona alejada de una fuente gravitatoria (mayor potencial gravitatorio) el tiempo pasa más rápido en relación con una persona más cercana a ese campo gravitatorio. ¿Es esto correcto? (así es como yo lo entiendo)

Entonces, mi pregunta es, si hay alguien lejos de una fuente de gravedad y una persona más cerca de esa fuente de gravedad entonces eso significa que el tiempo de la persona A correrá más rápido en comparación con el reloj de B. Si A y B tuvieran una carrera y ambos fueran $10 \; \mathrm{m/s}$ y recorrió una distancia de $5 \; \mathrm{km}$ ¿quién ganaría la carrera?

Estuve pensando en esto todo el día y, creo que desde un observador externo que la persona A debería terminar primero debido a que su tiempo es más rápido que el de la persona B.

Answer 1

Si la velocidad local medida por las propias partículas es de 10m/seg y las reglas que miden la distancia muestran las distancias en el marco de un observador lejano, entonces ganaría la que está más lejos de la fuente de gravedad, ya que la partícula que está más cerca de la fuente de gravedad tendría su velocidad shapirodelay por una cantidad mayor que la persona que está más lejos. Esto también se puede ver en esta animación, donde los rayos de luz más alejados de la masa superan a los que están más cerca, aunque localmente todos tienen una velocidad de 1c:

Answer 2

$\let\D=\Delta$ Permítanme que empiece por exponer con precisión el problema.

Nos encontramos en la vecindad de una estrella esférica no giratoria (o planeta) de masa $M$ . Se han construido dos pistas: la primera en coordenada radial (Schwarzschild) coordenadas $r_1$ el otro en $r_2>r_1$ . Ambas pistas tienen una longitud $d$ , según medido por instrumentos locales (las fórmulas serían $d=r_1\D\phi_1$ y $d=r_2\D\phi_2$ para las vías ecuatoriales).

Los tiempos de la carrera se miden con relojes estacionarios locales. Como $d$ es el mismo mismo y las velocidades $v$ son los mismos, los tiempos medidos también serán los mismos:

$$\D\tau_1 = \D\tau_2 = d/v.$$

¿quién ganaría la carrera?

Se necesita una definición clara de "victoria". Si los tiempos $\D\tau_1$ y $\D\tau_2$ se compararan (por ejemplo, mediante la transmisión automática por radio de las lecturas de los relojes a un árbitro) la carrera sería un empate. Pero podemos considerar otras dos formas de comparar los tiempos:

1. Envío de dos señales luminosas desde los relojes de 1 a los de 2. Las señales señales comienzan $\D\tau_1$ y llegar $\D\tau_1'$ aparte (el cálculo es el siguiente). También podría hacerse lo contrario, y se trata de forma análoga.

Utilizando la métrica de Schwarzschild, la conocida relación entre tiempo de Schwarzschild $\D t$ y el tiempo adecuado $\D\tau$ de un reloj estacionario resultados del reloj:

$$\D\tau = \D t\,\sqrt{1 - 2M/r}\qquad(1)$$

(en aras de la brevedad, he elegido unidades en las que $c=1$ , $G=1$ ). Lo único que hay que saber es que durante la propagación de la luz $\D t$ se conserva. Por lo tanto, para la misma $\D t$ Tendremos $${\D\tau_1' \over \D\tau_1} = \sqrt{1 - 2M/r_2 \over 1 - 2M/r_1}$$ ya que ambos tiempos se refieren al corredor nº 1 pero se miden con relojes diferentes: $\D\tau_1$ en el radio $r_1$ , $\D\tau_1'$ en el radio $r_2$ . Desde $r_2>r_1$ vemos que $\D\tau_1'>\D\tau_1=\D\tau_2$ y el corredor #2 es declarado ganador.

2. Enviando dos señales luminosas desde relojes en 1 a un reloj lejano, diciendo el tiempo de Schwarzschild $t$ . Lo mismo se hace para los relojes en 1. Sea $\D t_1$ y $\D t_2$ sean los intervalos de tiempo a la llegada de estas señales.

De nuevo, a partir de la ec. 1: $$\D\tau_1 = \D t_1\,\sqrt{1 - 2M/r_1}$$ $$\D\tau_2 = \D t_2\,\sqrt{1 - 2M/r_2}.$$ Recordando $\D\tau_1=\D\tau_2$ y dividiendo $${\D t_1 \over \D t_2} = \sqrt{1 - 2M/r_2 \over 1 - 2M/r_1}$$ $$\D t_1>\D t_2 $$ y el #2 es el ganador.