Resolución de una ecuación diferencial $x'=\frac{x+2t}{x-t}$

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente ecuación diferencial:

$$x'=\frac{x+2t}{x-t}$$

con condición de valor inicial: $x(1)=2$

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Sustitución: $u=\frac{x}{t}$

$$\implies u't+u=\frac{2t+tu}{-t+tu}$$

Separación de variables:

$$\implies \frac{u'(u-1)}{-u^2+2u+2}=\frac{1}{t}$$

Integrar ambas partes:

$$\implies \int \frac{u'(u-1)}{-u^2+2u+2} dt=\int \frac{1}{t} dt \iff -\frac{1}{2}\ln(-u^2+2u+2)=\ln(t)+C$$

Resolver para " $u$ " :

$$\implies u=1 \pm\sqrt{\frac{-1+3e^{2C}t^2}{e^{2C}t^2}}$$

Restitución: $u=\frac{x}{t}$

$$\implies x=t \pm t\sqrt{\frac{-1+3e^{2C}t^2}{e^{2C}t^2}}$$

Resolver para " $C$ " utilizando $x(1)=2$ :

$$x(1)=2=1\pm 1\sqrt{\frac{-1+3e^{2C}1^2}{e^{2C}1^2}} \implies C=-\frac{\ln(2)}{2}$$

Sustituyendo " $C$ " en la solución:

$$x=t \pm t\sqrt{\frac{-1+\frac{3}{2}t^2}{\frac{1}{2}t^2}}=t \pm t\sqrt{3t^2-2}$$

Enchufar " $x$ " en la ecuación diferencial:

$$1 \pm (\sqrt{3t^2-2}+\frac{6t^2}{\sqrt{3t^2-2}}) \not = \frac{3t \pm t\sqrt{3t^2-2}}{\pm t\sqrt{3t^2-2}}$$

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Aquí hay otra forma de hacerlo. tenemos $$\frac{dx}{dt} = \frac{x+2t}{x-t}. $$ podemos reescribirlo como una diferencial exacta en la forma $$0=(t-x) dx + (x+2t) dt = f_x\, dx + f_t \, dt $$ tenemos $$f_{xt} = f_{tx} =1 $$

podemos integrar $$ f_x = t-x \to f = tx-\frac12x^2 + C(t) \to f_t = x + C'=x+2t\to C= t^2 $$ por lo que la solución es $$tx - \frac12x^2 + t^2 = 1\times 2-2+1= 1. $$

Answer 2

Debe ser $$\frac{u-1}{-u^2+2u+2}du=\frac{dt}{t}$$ obtenemos $$-\frac{1}{2}\ln|-u^2+2u+2|=\ln|t|+C$$