He hecho una nueva pregunta, en lugar de ampliar la el primero .
Torsten da una buena responder Y en parte ilustra en la práctica el "segundo enfoque" que esbozaba en mi otra pregunta. (No es necesario que conozcas los detalles de mi otra pregunta, pero te invito a que la veas).
Conozco bien la maquinaria de los apilamientos de categorías, a la Giraud, pero lo que quiero saber es: ¿por qué no se puede dotar a estos apilamientos de cierta geometría? Y no sólo "porque no la tenemos". He aquí un esbozo de cómo podría funcionar:
Considere la categoría de 2 pilas de categorías sobre algún sitio $S$ considerados como funtores $X \to S$ . Llame a una pila representable si es representable de la manera habitual (equivalente a $S/a$ para algunos $a\in S$ ). Llamar a un mapa de pilas $p:X\to Y$ laxo-representable si para cada pila representable $a$ y el mapa $f:a \to Y$ el objeto de coma $(f/p)$ es representable (los objetos coma coinciden con el habitual 2-pullback que se utiliza con las pilas en los groupoides cuando todas las categorías implicadas son groupoides).
Un objeto coma cabe en un cuadrado de 2 conmutaciones, pero la 2-fila que llena el cuadrado no es necesariamente invertible. Entonces decimos, como es habitual, que un mapa laxo-representable tiene la propiedad P si todas las proyecciones $(f/p) \to a$ tienen la propiedad P de ser representables $a$ . Entonces se dice una pila en categorías $X$ es geométrico si dada una noción de cobertura (como los mapas suaves de los esquemas) si admite una cobertura laxamente representable $j:u\to X$ por una pila representable $u$ (y la diagonal $X\to X\times X$ debe ser también laxo-representable). Entonces el objeto coma $(j/j)$ junto con $u$ debe formar una categoría interna $(j/j) \rightrightarrows u$ en $S$ .
Todo esto está muy bien, pero ¿qué impide que esto ocurra en la práctica? ¿Quizás no existen los mapas laxos-representables? ¿O no hay suficientes? Un posible obstáculo, en el caso algebraico, es que la colección de mapas no necesariamente invertibles entre dos objetos podría ser demasiado grande para el algebraico. Considere los automorfismos de su objeto algebro-geométrico favorito, como un haz vectorial, o una curva algebraica. Tales cosas pueden volver a formarse en objetos geométricos en casos agradables. Pero las categorías de tales cosas pueden no ser cartesianas cerradas. No he pensado demasiado en esto, pero parece ser una posible barrera.
Para ser concreto, mi pregunta es la siguiente:
¿Qué es lo que falla/puede fallar en la receta anterior? Si quieres, considera un ejemplo concreto, como la pila de gavillas cuasicoherentes, o la pila de haces vectoriales (con todos los morfismos de haces vectoriales).
Una cosa más... para que esta teoría sea análoga a la de los apilamientos geométricos ordinarios (en groupoides), una cosa que falta es la noción de apilamiento . La apilización $st(G)$ de un grupúsculo algebraico $G$ es esencialmente la categoría de torsores para ese groupoide. Entonces $G_0$ (los objetos de $G$ ) viene con un mapa (bastante) canónico $G_0 \to st(G)$ que es la presentación descrita anteriormente.
El problema es cómo se quiere apilar. ¿Qué es un torsor para una categoría algebraica $C$ ? Si se piensa en términos de descenso, podría ser un torsor para el máximo grupo algebraico contenido en $C$ . La pista que estoy recibiendo es que esta podría ser la opción correcta, pero realmente depende de la presentación de ejemplos de trabajo, como en mi pregunta.
